Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen Differentialgleichungen: Multi Processing Algebra Reports

1 Einführung.- 1.1 Über Klassen von Lösungsfunktionen.- 1.2 Über die Entwicklung algebraischer Methoden.- 1.3 Ziele und Gliederung.- 1.4 Resultate.- 1.5 Anmerkungen.- 2 Grundlagen.- 2.1 Begriffe aus der Gruppentheorie.- 2.2 Differential-Galoistheorie.- 2.3 Invarianten.- 2.4 Algebraische Lösungen.- 2.5 Existenz von globalen Lösungen.- 2.6 Anmerkungen.- 3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 3.1 In Invarianten zerlegte Minimalpolynome.- 3.2 Kriterien zur Bestimmung der Galoisgruppe.- 3.3 Ein alternatives Verfahren.- 3.4 Anmerkungen.- 4 Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 4.1 Lineare Differentialoperatoren.- 4.2 Methode der Variation der Konstanten.- 4.3 Ein allgemeines Verfahren.- 4.4 Gleichungen zweiter und dritter Ordnung.- 4.5 Gleichungen mit unimodularer primitiver Galoisgruppe.- 4.6 Zerlegung von Minimalpolynomen in Invarianten.- 4.7 Anmerkungen.- 5 Spezielle Methoden für Gleichungen dritter Ordnung.- 5.1 Primitive unimodulare Gruppen vom Grad 3.- 5.2 Eine Schranke für den Grad von Invarianten.- 5.3 Lösen der Differentialgleichung von Hurwitz.- 5.4 Anmerkungen.- 6 Zusammenfassung und Ausblick.- 6.1 Zusammenfassung.- 6.2 Ausblick.- A Implementierungen in MuPAD.- A.1 Der LODO Domains Constructor.- A.2 Neue Funktionen der ODE-Library.- A.3 Berechnung liouvillescher Lösungen.- A.4 Anmerkungen.- B Befehlsreferenz.- B.1 Kurzbeschreibung ausgewählter Funktionen.- B.2 LODO-Domains und ihre Methoden.- Literatur.

Maschinelles Lösen von Differentialgleichungen ist seit langem der Traum vieler Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Dessen Umsetzung hat sich allerdings als sehr hartnäckig erwiesen. Da gibt es einerseits mechanische und elektro-mechanische Verfahren, die seit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen verdrängt werden und heute praktisch durch numerische Verfahren abgelöst sind. Andererseits gibt es algebraische Verfahren, welche erst durch die Entwicklung von Computeralgebra-Systemen weite Verbreitung finden. Der Vorteil dieser Methoden liegt darin, daß sie Funktionen anstelle von Funktionswerten als Ergebnis zurückliefern. Das Gemeinsame aller algebraischen Verfahren ist ihre Kompliziertheit, die zu ihrem Verständnis bisher viel Theorie erforderte. Das vorliegende Buch stellt in einer möglichst einfach gehaltenen Darstellung neue Konzepte und Algorithmen zur exakten Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen vor, die es sogar ermöglichen, erstens, alle Lösungen zu berechnen und zweitens, diese Lösungen durch Formeln zu bestimmen. Eine Einführung in die Benutzung der im Computeralgebra-System MuPAD implementierten Verfahren und eine Kurzbeschreibung der Funktionen ergänzen die Abhandlung. Aktuelle Informationen zu MuPAD und der projektbegleitenden Forschung sind auf der http://www.mupad.de>MuPAD Homepage zu finden.