Das parabolische Anderson-Modell beschreibt einen zufälligen Masse-transport durch ein zufälliges Feld von Quellen und Senken im mehr-dimensionalen diskreten Raum. Das Langzeitverhalten der erwarteten Gesamtmasse kann auf einer geeigneten Skala durch ein Variations-problem beschrieben werden. Wir erweitern das Modell durch die Einführung einer Be- oder Entschleunigung. Hierbei identifizieren wir fünf Regimes mit unterschiedlichem qualitativen Verhalten. Drei davon beleuchten bereits bekannte Resultate zu diesem Modell aus einer neuen Perspektive. Die geeignet angepassten Beweise werden aus-führlich dargestellt. In einem Regime tritt ein neuer Effekt auf, der einen Zusammenhang zu Irrfahrten in zufälliger Szenerie herstellt. Weiterhin untersuchen wir einige der entstehenden Variationsprobleme und ihre Minimierer. Eine diskrete Variationsformel, die bei konstanter Geschwindigkeit nicht auftritt, betrachten wir genauer und beschreiben ihre Asymptotik mit Hilfe der stetigen Variante dieser Formel. Die verwendeten Beweistechniken stammen aus verschiedenen mathema-tischen Teildisziplinen wie der Theorie der großen Abweichungen, der Variationsrechnung und der Theorie der finiten Elemente.