Das Reduktionsverfahren der Baustatik: Verfahren der Übergangsmatrizen

1 Einführung in die Matrizenrechnung.- 1.1 Begriff der Matrix.- 1.2 Definition für Matrizen.- 1.3 Matrizenmultiplikation.- 1.4 Kehrmatrix.- 2 Allgemeine Betrachtungen zum Reduktionsverfahren.- 2.1 Grundprinzip des Verfahrens.- 2.2 Vorzeichendefinition.- 3 Beliebig gestützte Einfeld- und Durchlaufträger für feldweise konstante Biegesteifigkeit EIy nach Theorie I. Ordnung.- 3.1 Grundlagen.- 3.1.1 Allgemeines.- 3.1.2 Feldmatrix.- 3.1.3 Punktmatrix.- 3.1.4 Randbedingungen.- 3.1.5 Betrachtung am ganzen Tragwerk.- 3.1.6 Ausführliches Rechenschema.- 3.1.7 Verkürztes Rechenschema.- 3.1.8 Einführung von dimensionslosen Vergleichsgrößen für die praktische Berechnung.- 3.2 Berechnung des Einfeldträgers.- 3.2.1 Allgemeines.- 3.2.2 Beispiel 1.- 3.2.3 Beispiel 2.- 3.3 Durchlaufträger ohne Zwischenbedingungen (auf elastisch senk- und drehbaren Stützen).- 3.3.1 Allgemeine Erläuterungen.- 3.3.2 Beispiel 3.- 3.3.2.1 Geometrie und Aufgabenstellung.- 3.3.2.2 Lasteinbringung durch Belastungsgrößen nach Tab. 1.- 3.3.2.3 Lasteinbringung durch Knotenkräfte.- 3.4 Durchlaufträger mit Zwischenbedingungen.- 3.4.1 Allgemeine Erläuterungen.- 3.4.2 1. Weg: Ausführliches Verfahren.- 3.4.2.1 Theorie.- 3.4.2.2 Beispiel 4.1.- 3.4.3 2. Weg: Ablösung der Freigrößen.- 3.4.3.1 Theorie.- 3.4.3.2 Beispiel 4.2.- 3.4.4 Sonderfall: Durchlaufträger auf festen Stützen.- 3.4.4.1 Theorie.- 3.4.4.1.1 Feldmatrix.- 3.4.4.1.2 Punktmatrix.- 3.4.4.1.3 Wiedergewinnung der unterdrückten Größen Q und w..- 3.4.4.1.4 Einführung von dimensionslosen Vergleichsgrößen.- 3.4.4.2 Beispiel 4.3.- 3.5 Ermittlung von Einflußlinien.- 3.5.1 Allgemeines.- 3.5.2 Verfahren 1.- 3.5.2.1 Grundlagen.- 3.5.2.2 Beispiel 5.1.- 3.5.3 Verfahren 2.- 3.5.3.1 Grundlagen.- 3.5.3.2 Beispiel 5.2.- 4 Ebene offene Rahmentragwerke nach Theorie I. Ordnung.- 4.1 Grundlagen.- 4.1.1 Allgemeines.- 4.1.2 Längsdehnung in x-Richtung.- 4.1.2.1 Feldmatrix.- 4.1.2.2 Punktmatrix.- 4.1.2.3 Zusammenhang am ganzen Träger.- 4.1.2.4 Einführung von dimensionslosen Vergleichsgrößen.- 4.1.3 Anfedern von Rahmenteilen.- 4.1.3.1 Stiele von unverschieblichen Rahmen bei E F = ?.- 4.1.3.2 Stiele von horizontal unverschieblichen Rahmen bei Berücksichtigung der Dehnsteif igkeit E Fk der Stiele.- 4.1.3.3 Stiele von horizontal verschieblichen Durchlaufrahmen (E Fstiel= ?.- 4.1.3.4 Stiele von horizontal verschieblichen Durchlaufrahmen bei Berücksichtigung der Dehnsteif igkeit E Fk der Stiele.- 4.1.3.5 Federmatrizen für Tragwerksstränge.- 4.2 Berechnung der un verschieblichen Durchlaufrahmen.- 4.2.1 Dehnsteifigkeit E F = ?.- 4.2.2 Berücksichtigung der Dehnsteifigkeit der Stiele (E FRegel = ?).- 4.3 Verschiebliche Durchlaufrahmen.- 4.3.1 Allgemeines.- 4.3.2 Theorie.- 4.3.2.1 Berücksichtigung der Dehnsteifigkeit E Fk.- 4.3.2.2 Dehnsteifigkeit EF = ?.- 4.3.3 Beispiele.- 4.3.3.1 Beispiel 6.- 4.3.3.2 Beispiel 7.- 4.4 Offene Rahmentragwerke mit orthogonalen Strängen.- 4.4.1 Theorie.- 4.4.2 Beispiel.- 5 Ebene geschlossene Rahmentragwerke nach Theorie I. Ordnung.- 5.1 Allgemeines.- 5.2 Koppelfedermatrizen.- 5.2.1 Zweifache Koppelfedermatrix für beidseitig elastisch eingespannte Stäbe.- 5.2.2 Zweifache Koppelfedermatrix für einseitig eingespannten Stab.- 5.2.2.1 Links gelenkig gelagerter und rechts elastisch eingespannter Stab.- 5.2.2.2 Links elastisch eingespannter und rechts gelenkig gelagerter Stab.- 5.2.3 Mehrfache Koppelfedermatrizen.- 5.2.4 Koppelfedermatrizen für Stielstränge.- 5.3 Unverschiebliche Stockwerkrahmen (E F — oo).- 5.3.1 Feldmatrix des Ersatzsystems.- 5.3.2 Punktmatrix des Ersatzsystems.- 5.3.3 Zusammenhang am ganzen Rahmen.- 5.3.4 Beispiel 8.- 5.4 Berechnung verschieblicher Stockwerkrahmen (E F = ?).- 5.4.1 Allgemeines.- 5.4.2 Tragwerksform a: Riegelstränge als Hauptstränge.- 5.4.2.1 Feldmatrizen für Ersatzsystem.- 5.4.2.2 Punktmatrizen für Ersatzsystem.- 5.4.2.3 Zusammenhang am ganzen Tragwerk.- 5.4.2.4 Beispiel 9.- 5.4.3 Tragwerksform b: Stielstränge als Hauptstränge.- 5.4.3.1 Feldmatrizen für Ersatzsystem.- 5.4.3.2 Punktmatrizen für Ersatzsystem.- 5.4.3.3 Zusammenhang am ganzen Tragwerk.- 5.4.3.4 Beispiel 10.- 5.4.4 Yierendeelträger (E F = ?).- 5.4.4.1 Allgemeines.- 5.4.4.2 Vierendeelträger auf zwei Stützen.- 5.4.4.2.1 Feldmatrix des Ersatzsystems.- 5.4.4.2.2 Punktmatrix des Ersatzsystems.- 5.4.4.2.3 Zusammenhang am ganzen Tragwerk.- 5.4.4.2.4 Beispiel 11.- 5.4.4.3 Durchlaufender Vierendeelträger.- 5.4.4.3.1 Feldmatrix des Ersatzsystems.- 5.4.4.3.2 Punktmatrix des Ersatzsystems.- 5.4.4.3.3 Zusammenhang am ganzen Tragwerk.- 5.4.5 Symmetrische Rahmen.- 5.4.5.1 Allgemeines.- 5.4.5.2 Symmetrische Belastung.- 5.4.5.3 Antimetrische Belastung.- 5.4.5.4 Beispiel 12.- 6 Kreuzwerke nach Theorie I. Ordnung.- 6.1 Allgemeines.- 6.2 Längsverdrehung in x-Richtung (Torsionsbeanspruchung für feldweise G IT = const).- 6.2.1 Feldmatrix.- 6.2.2 Punktmatrix.- 6.2.3 Zusammenhang am Träger über mehrere Felder.- 6.2.4 Einführung dimensionsloser Vergleichsgrößen.- 6.2.5 Koppelfedermatrizen für Torsion.- 6.2.5.1 Zweifache Koppelfedermatrix für den beidseitig elastisch einge-spannten Stab.- 6.2.5.2 Mehrfache Koppelfedermatrizen.- 6.3 Kreuzwerke ohne Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit.- 6.3.1 Allgemeine Betrachtungen.- 6.3.2 Feld-, Punkt -und Leitmatrizen für das Ersatzsystem.- 6.3.3 Zusammenhang am ganzen Kreuzwerk.- 6.3.4 Beispiel 13.- 6.4 Kreuzwerke mit Berücksichtigung der Torsionssteifigkeit.- 6.4.1 Allgemeine Betrachtungen.- 6.4.2 Feld- und Punktmatrizen für das Ersatzsystem.- 6.4.3 Zusammenhang am ganzen Kreuzwerk.- 6.4.4 Beispiel 14.- 7 Räumlieh beanspruchter Stab mit veränderlichem Querschnitt nach Theorie I. Ord-.- 7.1 Allgemeines.- 7.2 Querkraftbiegung ohne Längskraft in der x–z-Ebene.- 7.2.1 Feldmatrix.- 7.2.2 Federmatrizen für einfeldrige Rahmenstiele.- 7.2.3 Koppelfedermatrix für beidseitig elastisch eingespannten Stab von der Länge lk.- 7.3 Querkraftbiegung ohne Längskraft in der x–y-Ebene.- 7.3.1 Feldmatrix.- 7.3.2 Federmatrizen für einfeldrige Rahmenstiele.- 7.3.3 Koppelfedermatrix für beidseitig elastisch eingespannten Stab von der Länge lk.- 7.3.4 Sonderfall: Querkraftbiegung ohne Längskraft in der x–z-Ebene für feldweise E Izk = const.- 7.4 Längsdehnung in der x-Richtung.- 7.4.1 Feldmatrix.- 7.4.2 Koppelfedermatrix für beidseitig eingespannten Stab von der Länge lk.- 7.5 Längsverdrehung in der x-Richtung.- 7.5.1 Feldmatrix.- 7.5.2 Koppelfedermatrix des beidseitig elastisch eingespannten Stabes von der Länge lk.- 8 Beliebig gestützter Einfeld- und Durchlaufträger für feldweise konstante Biegesteifigkeit EIk und feldweise konstante Horizontalkraft Hk nach Theorie II. Ordnung.- 8.1 Allgemeines.- 8.2 Untersuchung des Trägertyps 1.- 8.2.1 Feldmatrix für Druckbiegung.- 8.2.2 Feldmatrix für Zugbiegung.- 8.2.3 Leitmatrix.- 8.2.4 Beispiel 15.- 8.3 Untersuchung des Trägertyps 2.- 8.3.1 Allgemeines.- 8.3.2 Feldmatrix.- 8.3.3 Federmatrizen für Stiele von horizontal verschieblichen Durchlaufrahmen.- 8.3.3.1 Unten eingespannter Stiel.- 8.3.3.2 Unten gelenkig gelagerter Stiel.- 8.3.4 Leitmatrix.- 8.3.5 Beispiel 16.- 9 Ebene geschlossene Rahmentragwerke nach Theorie II. Ordnung für feldweise konstante Biegesteifigkeit EIk und feldweise konstante Normalkraft Hk.- 9.1 Allgemeines.- 9.2 Zweifache Koppelfedermatrix für beidseitig elastisch eingespannte Stäbe.- 10 Beliebig belasteter Balken mit feldweise konstanter Biegesteifigkeit EIk und feldweise konstanter elastischer Bettung ßk.- 10.1 Allgemeines.- 10.2 Ableitung der Feldmatrix.- 10.3 Ableitung der Belastungsglieder.- 10.3.1 Linear verteilte Streekenlast q(xk).- 10.3.2 Konstante Streckenlast.- 10.3.3 Linear ansteigende Streckenlast.- 10.3.4 Einzellast Pk bzw. Mk.- 10.3.5 Zusammenstellung der Lastgrößen.- 10.4 Betrachtung am ganzen Tragwerk.- 10.5 Beispiel 17.- 11 Schlußbetrachtungen.- Zur Programmierung des Reduktionsverfahrens.- 1. Allgemeines.- 2. Das Verfahren im allgemeinsten Fall für Tragwerke ohne Zwischenbedingungen.- 3. Die Trennung von Tragwerk und Belastung.- 4. Strukturdiagramm für den Tragwerksteil.- 5. Strukturdiagramm für den Lastteil.- 6. Kontrollen.- 7. Durchrechnen vom anderen Ende her.- 8. Starre Felder.- 9. Tragwerke mit Zwischenbedingungen.- 10. Fehlerfortpflanzung und numerische Stabilität.