Einführung in die Mathematische Logik de Alfred Tarski

Einführung in die Mathematische Logik: Und in die Methodologie der Mathematik

Alfred Tarski

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Descriere

Cuprins

Erster Teil. Hauptbegriffe der mathematischen Logik. Deduktive Methode.- I. Über die Variablen.- 1. Konstanten und Variablen.- 2. Ausdrücke, die Variablen enthalten: Satz- und Bezeichntmgsfunktionen.- 3. Aufstellung von mathematischen Lehrsätzen mit Hilfe von Variablen.- 4. Der Alloperator und der Existenzoperator; freie und gebundene Variablen.- 5. Die Bedeutung der Variablen für die Mathematik.- Übungsaufgaben.- II. Über den Aussagenkalkül.- 6. Die spezifisch mathematischen und die logischen Ausdrücke; mathematische Logik.- 7. Der Aussagenkalkül; die Negation eines Satzes, die Konjunktion und die Disjunktion von Sätzen.- 8. Die Implikation oder der Bedingungssatz; Bildung von konjugierten Sätzen.- 9. Die Äquivalenz von Sätzen.- 10. Aufstellung von Definitionen; Regeln des Definierens.- 11. Lehrsätze des Aussagenkalküls.- 12. Anwendung von Lehrsätzen des Aussagenkalküls in mathematischen Beweisen.- 13. Regeln des Beweisens, vollständige Beweise.- Übungsaufgaben.- III. Über die Theorie der Identität.- 14. Logische Begriffe außerhalb des Aussagenkalkäls; Begriff der Identität.- 15. Wichtigste Lehrsätze aus der Theorie der Identität.- 16. Die Gleichheit in der Arithmetik und in der Geometrie und ihre Beziehung zu der logischen Identität.- 17. Die Quantitatsoperatoren.- Übungsaufgaben.- IV. Über die Klassentheorie.- 18. Mengen und ihre Elemente.- 19. Mengen und Satzfunktionen mit éiner freien Variablen.- 20. Grundbeziehungen zwischen Mengen.- 21. Operationen mit Mengen.- 22. Gleichzahlige Mengen, Anzahl der Elemente einer Menge, endliche und unendliche Mengen.- Übungsaufgaben.- V. Über die Relationstheorie.- 23. Beziehungen, ihre Vorder- und Hinterglieder; Beziehungen und Satzfunktionen mit zwei freien Variablen.- 24 Einige Eigenschaften von Beziehungen.- 25. Beziehungen, die zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sind; Abstraktionsprinzip.- 26. Ordnungsbeziehungen; Beispiele von anderen Beziehungen.- 27. Eindeutige Beziehungen oder Funktionen; die Rolle der Funktionen in der Mathematik selbst sowie in den Anwendungen der Mathematik auf die Naturwissenschaften.- 28. Die Satz- und Bezeichnungsfunktionen und der neue Funktionsbegriff.- 29. Umkehrbare F inktionen und die eineindeutige Zuordnung; die Definition des Begriffes der Gleichzahligkeit.- 30. Mehrgliedrige Beziehungen; Funktionen von mehreren Variablen und Operationen.- 31. Die Bedeutung der Logik für die Mathematik.- Übungsaufgaben.- VI. Über die deduktive Methode.- 32. Grundprinzipien des Aufbaus der mathematischen Wissenschaften: Grundbegriffe und definierte Begriffe, Axiome und Theoreme; deduktive Methode als charakteristisches Merkmal der Mathematik.- 33. Formaler Charakter der mathematischen Disziplinen, Modell und Interpretation eines Axiomensystems.- 34. Beispiele von Interpretationen der Axiomensysteme.- 35. Die Willkurlichkeit in der Auswahl von Axiomen und Grundbegriffen; Postulate der Unabhängigkeit.- 36. Postulate der Formalisierung von Definitionen und Beweisen, formalisierte deduktive Disziplinen.- 37. Das Problem der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit von mathematischen Disziplinen.- Übungsaufgaben.- Zweiter Teil. Anwendungen der Logik und der Methodologie beim Aufbau eines Bruchstücks der Arithmetik.- VII. Sätze über die Anordnung von Zahlen.- 38. Grundbegriffe des aufzubauenden Bruchstücks der Arithmetik; erste Gruppe von Axiomen.- 39. Sätze der Irreflexivität für die Beziehungen »kleiner als « und »größer als «; indirekte Beweise.- 40. Weitere Sätze über die Beziehungen » kleiner als « und » größer als «.- 41. Die Beziehungen „?“ und ,,?“.- Übungsaufgaben.- VIII. Sätze über die Addition und die Subtraktion.- 42. Zweite Gruppe von Axiomen; einige allgemeine Eigenschaften von Operationen, der Begriff der Gruppe und insbesondere der Abelschen Gruppe.- 43. Kommutative und assoziative Gesetze für eine größere Anzahl von Summanden.- 44. Die Sätze der Monotonie für die Addition und ihre Umkehrungen; ein neuer Typus von indirekten Beweisen.- 45. Geschlossene Systeme von Sätzen.- 46. Folgerungen aus den Sätzen der Monotonie; die üblichste Art von indirekten Beweisen.- 47. Definition der Subtraktion; inverse Operationen.- 48. Bemerkungen über Definitionen, deren Definiendum das Gleichheitszeichen enthält.- 49. Sätze, die die Subtraktion betreffen.- Übungsaufgaben.- IX. Methodologische Betrachtungen über das aufgebaute Bruchstück der Arithmetik.- 50. Überflüssige Axiome in dem ursprünglichen Axiomensystem A, Axiomensystem A?.- 51. Unabhängigkeit der Axiome des Systems A?, Beweise durch Interpretation.- 52. Reduktion der Grundbegriffe im A? Axiomensystem Axiomensystem A?, Begriff der geordneten Abelschen Gruppe.- 53. Das vereinfachte Axiomensystem A? und seine Äquivalenz mit den vorangehenden Systemen; Bemerkungen über die möglichen Umformungen des Systems von Grundbegriffen.- 54. Das Problem der Widerspruchsfreiheit des betrachteten Bruchstücks der Arithmetik.- 55. Das Problem der Vollständigkeit des betrachteten Bruchstücks der Arithmetik.- Übungsaufgaben.- X. Axiomensysteme für die ganze Arithmetik reeller Zahlen.- 56. Unzulänglichkeit des Axiomensystems A für die Begründung der ganzen Arithmetik reeller Zahlen; System A×, seine Grundbegriffe und Axiome.- 57. Nähere Charakterisierung des Systems A×, dichte und stetige Beziehungen; methodologische Vorteile und didaktische Nachteile des Systems A×.- 58. Grundbegriffe und Axiome des Systems A××.- 59. Nähere Charakterisierung des Systems A××: Einheitselement einer Operation, Distributivität einer Operation hinsichtlich einer anderen, der Begriff des Körpers und des geordneten Körpers.- 60. Äquivalenz der Axiomensysteme A× und A××; methodologische Nachteile und didaktische Vorteile des Systems A××.- Übungsaufgaben.- Literaturangaben.