Gewöhnliche Differentialgleichungen: Analytische und numerische Behandlung: Rechnerorientierte Ingenieurmathematik

1 Einführung.- 1.1 Stammfunktion und Flächeninhalt.- 1.2 Ein Bevölkerungsmodell.- 1.3 Mechanische Schwingungen.- 1.4 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung und ihre Lösungen.- 1.5 Partielle Differentialgleichungen.- 1.6 Literatur zu Kapitel 1.- 1.7 Aufgaben zu Kapitel 1.- 2 Spezielle Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung.- 2.1 Die separable Differentialgleichung.- 2.2 Die lineare Differentialgleichung erster Ordnung.- 2.3 Die Bernoulli-Differentialgleichung.- 2.4 Die Riccati-Differentialgleichung.- 2.5 Die exakte Differentialgleichung.- 2.6 Der integrierende Faktor.- 2.7 Literatur zu Kapitel 2.- 2.8 Aufgaben zu Kapitel 2.- 3 Existenz-und Eindeutigkeitssätze und einfache numerische Verfahren..- 3.1 Der Existenzsatz von Peano.- 3.2 Eindeutigkeitskriterien.- 3.3 Die Lipschitz-Bedingung.- 3.4 Numerische Verfahren — ein Einstieg.- 3.5 Der Existenzsatz von Picard-Lindelöf.- 3.6 Der Existenzsatz für Differentialgleichungssysteme.- 3.7 Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangswerten.- 3.8 Lösungen in Potenzreihenform.- 3.9 Literatur zu Kapitel 3.- 3.10 Aufgaben zu Kapitel 3.- 4 Explizite numerische Verfahren für Anfangswertprobleme.- 4.1 Die Konvergenz allgemeiner Einschrittverfahren.- 4.2 Spezielle Einschrittverfahren.- 4.3 Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung für Einschrittverfahren.- 4.4 Mehrschrittverfahren vom Adams-Typ.- 4.5 „Das trudelnde Elektron“.- 4.6 Literatur zu Kapitel 4.- 4.7 Aufgaben zu Kapitel 4.- 5 Verallgemeinerte Lösungen und Variationsprobleme.- 5.1 Verallgemeinerte Lösungen.- 5.2 Die Eulersche Differentialgleichung bei Variationsproblemen.- 5.3 Literatur zu Kapitel 5.- 5.4 Aufgaben zu Kapitel 5.- 6 Implizite Differentialgleichungen und singuläre Punkte.- 6.1 Differentialgleichungen undLösungsscharen.- 6.2 Reguläre und singuläre Linienelemente.- 6.3 Spezielle implizite Differentialgleichungen.- 6.4 Literatur zu Kapitel 6.- 6.5 Aufgaben zu Kapitel 6.- 7 Differentialgleichungen höherer Ordnung.- 7.1 Lösungs- und Reduktionsmethoden spezieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 7.2 Qualitative Untersuchung der Differentialgleichung y? + f(y) = 0.- 7.3 Autonome Systeme und geschlossene Trajektorien.- 7.4 Die Differentialgleichung von Liénard.- 7.5 Literatur zu Kapitel 7.- 7.6 Aufgaben zu Kapitel 7.- 8 Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung.- 8.1 Lösungstheorie der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 8.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 8.3 Die Operatorenmethode zur Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und spezieller Störfunktion.- 8.4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten.- 8.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und ihre adjungierte Form.- 8.6 Literatur zu Kapitel 8.- 8.7 Aufgaben zu Kapitel 8.- 9 Lösungen in Reihenform.- 9.1 Der allgemeine Existenzsatz.- 9.2 Singuläre Stellen bei linearen Differentialgleichungen.- 9.3 Singularitäten im Unendlichen und irregulär singuläre Punkte.- 9.4 Literatur zu Kapitel 9..- 9.5 Aufgaben zu Kapitel 9.- 10 Differentialgleichungssysteme.- 10.1 Einführung.- 10.2 Die Lösung linearer Systeme.- 10.3 Lineare Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 10.4 Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 10.5 Literatur zu Kapitel 10.- 10.6 Aufgaben zu Kapitel 10.- 11 Die Laplace-Transformation.- 11.1 Einführung.- 11.2 Einige elementare Eigenschaften der Laplace-Transformation.- 11.3 Die Umkehrtransformation.- 11.4Laplace-Transformation und Delta-Funktion.- 11.5 Literatur zu Kapitel 11.- 11.6 Aufgaben zu Kapitel 11.- 12 Stabilitätsprobleme.- 12.1 Globale Stabilität.- 12.2 Stabilität bei linearen Systemen.- 12.3 Gestörte lineare Systeme.- 12.4 Die Methode von Lyapunov für nicht-lineare autonome Systeme.- 12.5 Literatur zu Kapitel 12.- 12.6 Aufgaben zu Kapitel 12.- 13 Numerik steifer Differentialgleichungen.- 13.1 Probleme bei steifen Systemen.- 13.2 Implizite Runge-Kutta-Verfahren.- 13.3 Mehrschrittverfahren vom Gear-Typ.- 13.4 „Kinetik einer autokatalytischen Reaktion“.- 13.5 Literatur zu Kapitel 13.- 13.6 Aufgaben zu Kapitel 13.- 14 Randwertprobleme.- 14.1 Das Randwertproblem eines linearen Differentialoperators n-ter Ordnung.- 14.2 Die Greensche Funktion.- 14.3 Selbstadjungierte Randwertprobleme.- 14.4 Nichtlineare Randwertprobleme.- 14.5 Literatur zu Kapitel 14.- 14.6 Aufgaben zu Kapitel 14.- 15 Numerische Behandlung von Randwertproblemen.- 15.1 Schießverfahren.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.3 Kollokationsverfahren.- 15.4 „Ein nichtlinearer Oszillator“.- 15.5 Literatur zu Kapitel 15.- 15.6 Aufgaben zu Kapitel 15.- 16 Eigenwertprobleme.- 16.1 Das reguläre Sturm-Liouville Rand- und Eigenwertproblem.- 16.2 Singuläre Sturm-Liouville Randwertprobleme.- 16.3 Literatur zu Kapitel 16.- 16.4 Aufgaben zu Kapitel 16.- Appendix: Grundlagen der Funktionentheorie.- A. 1 Die komplexen Zahlen.- A.2 Holomorphie komplexwertiger Funktionen.- A.3 Der Cauchysche Integralsatz.- A.4 Weitere Folgerungen.- A.5 Potenzreihenentwicklungen holomorpher Funktionen.- A.6 Isolierte Singularitäten und Laurentreihenentwicklungen.- A.7 Umkehrfunktionen.- Lösungen der Aufgaben.- 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.