Grundzüge der Ausgleichungsrechnung: nach der Methode der kleinsten Quadrate nebst Anwendung in der Geodäsie

Überblick über die Methode der kleinsten Quadrate.- I. Abschnitt Grundzüge der Fehlerlehre.- 1. Fehlerarten, theoretische Mittelwerte und Streuungsmaße.- 1.1 Grobe, systematische, zufällige und totale Fehler.- 1.2 Der theoretische Mittelwert.- 1.3 Die theoretischen Streuungsmaße.- 1.4 Zur Berechnung der Streuungsmaße.- 2. Der mittlere Fehler von Funktionen unabhängiger Messungsgrößen (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz).- 2.1 Der Einfluß der Beobachtungsfehler auf Funktionen gemessener Größen.- 2.2 Der relative Fehler einer Funktion gemessener Größen.- 2.3 Der mittlere Fehler einer Funktion gegenseitig unabhängiger Messungsgrößen.- 3. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen gleicher Genauigkeit.- 3.1 Wahre und übrigbleibende Fehler.- 3.2 Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler einer ursprünglichen Beobachtung.- 3.3 Empirischer mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels direkt beobachteter Messungsgrößen.- 4. Empirischer Mittelwert und empirischer mittlerer Fehler bei Beobachtungen verschiedener Genauigkeit.- 4.1 Einführen des Gewichts und des allgemeinen arithmetischen Mittels.- 4.2 Beziehungen zwischen Gewichten und mittleren Fehlern.- 4.3 Die Gewichte von Funktionen direkt beobachteter Messungsgrößen.- 4.4 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit; homogenisierte und standardisierte Beobachtungen.- 4.5 Gewichtsreziproke oder Kofaktoren.- 5. Empirische mittlere Beobachtungsfehler aus Doppelmessungen.- 5.1 Beobachtungspaare gleichen Gewichtes.- 5.2 Beobachtungspaare verschiedenen Gewichtes.- 6. Fehlerfortpflanzungsgesetze für Beobachtungen mit systematischen Fehleranteilen und für korrelierte Beobachtungen.- 6.1 Beobachtungen mit systematischen Fehleranteilen.- 6.2 Gegenseitig abhängige oder korrelierte Beobachtungen.- 7. Das Gaußsche Fehlergesetz.- 7.1 Fehlerhäufigkeit und Fehlerwahrscheinlichkeit.- 7.2 Die Fehlerhäufigkeits- und die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion.- 7.3 Die graphische Darstellung von ?(?).- 7.4 Hagens Ableitung des Fehlergesetzes.- 7.5 Fehlergesetz und Beobachtungsreihen.- 8. Die fehlertheoretische Begründung und die mittleren Fehler der Genauigkeitsmaße.- 8.1 Beziehungen zwischen ??, ? und h.- 8.2 Zur Theorie des Maximalfehlers.- 8.3 Der mittlere Fehler eines aus n wahren Fehlern berechneten empirischen mittleren Fehlers.- 8.4 Der mittlere Fehler eines aus n übrigbleibenden Fehlern berechneten empirischen mittleren Fehlers.- 8.5 Zufallskriterien.- II. Abschnitt Ausgleichung von direkten Beobachtungen.- § 9. Grundprinzip und Formen der Ausgleichungsaufgabe.- 9.1 Die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung.- 9.2 Das Ausgleichungsprinzip.- 9.3 Ausgleichungsverfahren.- § 10. Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit (Arithmetisches Mittel).- § 11. Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit (Allgemeines arithmetisches Mittel).- § 12. Beobachtungen mit Summengleichung.- III. Abschnitt Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen.- § 13. Einführung in die Methode der vermittelnden Beobachtungen.- § 14. Aufstellen der Fehlergleichungen.- 14.1 Wahl der Unbekannten.- 14.2 Lineare Fehlergleichungen.- 14.3 Nichtlineare Fehlergleichungen.- § 15. Aufstellen und Auflösen der Normalgleichungen.- 15.1 Aufstellen der Normalgleichungen.- 15.2 Auflösen der Normalgleichungen nach dem Gaußschen Algorithmus.- 15.3 Übergang auf mehrere Unbekannte.- 15.4 Das System der Endgleichungen.- § 16. Vervollständigung des Algorithmus durch Summen- und [vv]-Proben.- 16.1 Die Summenproben.- 16.2 v-Proben und [vv]-Proben.- 16.3 Die SchluBprobe.- 16.4 Anordnung der Zahlenrechnung.- § 17. Gewichtskoeffizienten und mittlere Fehler der Unbekannten.- 17.1 Herleitung der Gewichtskoeffizienten.- 17.2 Berechnung der Gewichtskoeffizienten aus ihren Endgleichungen.- 17.3 Gleichzeitige Auflösung von Normal- und Gewichtsgleichungen.- 17.4 Die unbestimmte Auflösung.- 17.5 Gewichtskoeffizienten bei nur zwei Unbekannten.- § 18. Mittlere Fehler der beobachteten Größen.- 18.1 Ableiten der Fehlerformel.- 18.2 Zweite Gaußsche Begründung der Methode der kleinsten Quadrate.- § 19. Vermittelnde Beobachtungen verschiedener Genauigkeit.- § 20. Die Gewichte von Funktionen der Unbekannten.- 20.1 Berechnen des Funktionsgewichtes mit Hilfe der Gewichtskoeffizienten.- 20.2 Berechnen des Funktionsgewichtes durch Erweitern des ursprünglichen Normalgleichungssystems.- 20.3 Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen.- 20.4 Freie oder nicht korrelierte Funktionen.- § 21. Rechenmaschinenlogarithmen.- 21.1 Der mechanisierte Gaußsche Algorithmus.- 21.2 Der moderne Gaußsche Algorithmus.- 21.3 Der Algorithmus von Cholesky.- § 22. Übersicht über die Ausgleichung von vermittelnden Beobachtungen.- § 23. Ausgleichung von Höhennetzen.- § 24. Reduzierte Fehlergleichungen.- 24.1 Elimination einer Unbekannten mittels der Summengleichung.- 24.2 Die Schreibersche Regel.- § 25. Stationsausgleichungen.- § 26. Trigonometrisches Einschneiden.- § 27. Ausgleichung von Streckennetzen.- § 28. Die Ausgleichung von Triangulierungsnetzen nach vermittelnden Beobachtungen.- 28.1 Ausgleichen von Füllnetzen.- 28.2 Ausgleichen von freien Flächennetzen.- IV. Abschnitt Die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen.- § 29. Einführung in die Methode der bedingten Beobachtungen.- § 30. Das Aufstellen der Bedingungsgleichungen.- 30.1 Aufsuchen der Bedingungen.- 30.2 Lineare Bedingungsgleichungen.- 30.3 Nichtlineare Bedingungsgleichungen.- § 31. Korrelatengleichungen, Normalgleichungen und Proben.- 31.1 Aufstellen und Auflösen der Korrelatengleichungen und der Normalgleichungen.- 31.2 Die [vv]-Proben.- 31.3 Summenproben und Schlußprobe.- § 32. Mittlerer Fehler einer beobachteten Größe.- 32.1 Zurückführen bedingter auf vermittelnde Beobachtungen.- 32.2 Die Berechnung des mittleren Fehlers einer beobachteten Größe.- § 33. Bedingte Beobachtungen mit ungleichen Gewichten.- § 34. Die Gewichte von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen.- 34.1 Darstellen des Funktionsgewichtes mittels der Übertragungskoeffizienten.- 34.2 Berechnen der Funktionengewichte.- 34.3 Die Gewichtskoeffizienten der ausgeglichenen Beobachtungen.- 34.4 Das Gewicht einer Funktion von Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen.- § 35. Übersicht über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen.- § 36. Einfache Anwendungen der bedingten Beobachtungen.- § 37. Bedingungsgleichungen in Dreiecksnetzen.- 37.1 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen.- 37.2 Abzählformeln bei Winkelbeobachtungen in freien Netzen.- 37.3 Bedingungen bei Winkelbeobachtungen in angeschlossenen Netzen.- 37.4 Behandlung von Richtungssätzen.- 37.5 Fehlerberechnung in trigonometrischen Netzen.- § 38. Iterative und gruppenweise Behandlung von Bedingungsgleichungen.- 38.1 Ein Gaußsches Iterationsverfahren.- 38.2 Näherungsausgleichung von Dreiecksnetzen mit Richtungsbeobachtungen.- 38.3 Reduzierte Bedingungsgleichungen.- 38.4 Das Krügersche Zweigruppenverfahren.- § 39. Entwicklungsverfahren und Substitutionsverfahren.- 39.1 Grundgedanken des Entwicklungsverfahrens.- 39.2 Die Entwicklung des Korrelaten nach den Widersprüchen.- 39.3 Der Algorithmus des Entwicklungsverfahrens.- 39.4 Grundgedanken des Substitutionsverfahrens.- V. Abschnitt Ausgleichung von korrelierten Beobachtungen.- § 40. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen.- 40.1 Direkte Lösung.- 40.2 Zweistufige Ausgleichung nach F. W. Bessel.- 40.3 Eine Lösung von C. F. Baeschlin.- § 41. Bedingungsgleichungen mit Unbekannten.- 41.1 Allgemeine Form der Ausgleichungsaufgabe.- 41.2 Fehlergleichungen mit verschiedenartigen Beobachtungsgrößen.- § 42. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mittels äquivalenter Fehlergleichungen.- 42.1 Äquivalente Fehlergleichungen.- 42.2 Ausgleichen korrelierter Größen nach bedingten Beobachtungen.- 42.3 Ausgleichen korrelierter Größen nach vermittelnden Beòbachtungen.- § 43. Ausgleichen korrelierter Beobachtungen mit Hilfe der Matrix der Gewichtskoeffizienten.- 43.1 Das Ausgleichungsverfahren.- 43.2 Ausgleichen korrelierter Größen nach bedingten Beobachtungen.- 43.3 Ausgleichen korrelierter Größen nach vermittelnden Beobachtungen.- VI. Abschnitt Sonderaufgaben und mathematische Statistik.- § 44. Ausgleichung durch schrittweise Annäherung.- § 45. Bestimmen der Konstanten einer linearen Transformation (Helmert-Transformation).- 45.1 Berechnen der Transformationskonstanten aus den auf die Schwerpunkte bezogenen Koordinaten der Paßpunkte.- 45.2 Berechnen der Konstanten zur Transformation photogrammetrischer Modelle aus den ursprünglichen Koordinaten der Paßpunkte.- § 46. Genäherte Darstellung von Funktionen.- 46.1 Bestimmung der ausgleichenden Geraden.- 46.2 Darstellung einer Funktion durch eine Potenzreihe.- 46.3 Darstellung einer Funktion durch trigonometrische Reihen.- § 47. Grundbegriffe der mathematischen Statistik; Normalverteilung.- 47.1 Einführung.- 47.2 Grundgesamtheit, Verteilungs- und Dichtefunktionen.- 47.3 Die Parameter der Grundgesamtheit.- 47.4 Die Gaußsche Normalverteilung.- 47.5 Die Standardform der Normalverteilung.- 47.6 Die ?p %-Grenzen der Normalverteilung und die theoretischen Maximalfehler.- § 48. Stichprobenverteilungen und Vertrauensgrenzen.- 48.1 Die Parameter der Stichprobe.- 48.2 Prüfen einer Stichprobe auf Normalverteilung; das Wahrscheinlichkeitsnetz.- 48.3 Vertrauensbereich für den empirischen Mittelwert bei bekanntem ? (Normalverteilung).- 48.4 Vertrauensbereich für den empirischen Mittelwert bei unbekanntem ? (t-Verteilung).- 48.5 Vertrauensbereich für ?, wenn s bekannt ist (?2-Verteilung).- 48.6 Vertrauensgrenzen für den Quotienten zweier Standardabweichungen (F-Verteilung).- § 49. Statistische Prüfverfahren oder Signifikanzteste.- 49.1 Allgemeines über Signifikanzteste.- 49.2 Signifikanztest für den Mittelwert bei bekanntem a.- 49.3 Signifikanztest für den Mittelwert bei unbekanntem a.- 49.4 Testen des Verhältnisses von zwei empirischen Varianzen.- 49.5 Prüfen auf Häufigkeitsverteilung (?2-Anpassungstest).- 49.6 Die Streuungszerlegung oder Varianzanalyse.- 49.7 Prüfung von Abhängigkeiten (Regression und Korrelation).- 49.8 Zur Anwendung der statistischen Verfahren auf geodätische Beobachtungen.- VII. Abschnitt Anwendungen der Matrizenrechnung auf die Ausgleichungsrechnung.- § 50. Grundregeln der Matrizenrechnung.- 50.1 Definition und Bezeichnungen.- 50.2 Rechenoperationen mit Matrizen.- 50.3 Sonderfälle und Anwendungen der Multiplikationsregel.- 50.4 Inversion der Matrizen.- 50.5 Symmetrische Matrizen.- 50.6 Differentiation von Matrizenfunktionen.- § 51. Ausgleichen vermittelnder Beobachtungen.- 51.1 Die Fehlergleichungen.- 51.2 Die Normalgleichungen.- 51.3 Berechnung der Unbekannten.- 51.4 Einflußzahlen und Gewichtskoeffizienten (Kofaktoren).- 51.5 Gewicht einer Funktion der Unbekannten.- 51.6 Gewicht einer Funktion von Funktionen.- 51.7 Verprobung durch die Fehlerquadratsumme.- 51.8 Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit.- § 52. Ausgleichen bedingter Beobachtungen.- 52.1 Die Bedingungsgleichungen.- 52.2 Die Normalgleichungen.- 52.3 Die gewogene Fehlerquadratsumme.- 52.4 Gewichte der ausgeglichenen Beobachtungen und ihrer Funktionen.- § 53. Einige Sonderaufgaben.- 53.1 Das Boltzsche Entwicklungsverfahren.- 53.2 Das Boltzsche Substitutionsverfahren.- 53.3 Ausgleichen korrelierter Beobachtungen.- Schrifttum (Auswahl).- Namen- und Sachverzeichnis.