Numerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure

1 Einleitung.- 1.1 Modellbildung.- 1.2 Benutzung eines mathematischen Modells.- 1.3 Anliegen dieses Buches.- 2 Übersicht.- 2.1 Eine Übersicht technischer Probleme.- 2.2 Klassifizierung von PDG zweiter Ordnung.- 3 Differenzenverfahren.- 3.1 Differenzenverfahren in einer Dimension.- 3.2 Differenzenverfahren in mehreren Dimensionen.- 3.3 Finite Volumenmethode (FVM).- 4 Minimierungsprobleme in der Physik.- 4.1 Eindimensionale Minimierungsprobleme.- 4.2 Zweidimensionale Minimierungsprobleme.- 4.3 Von der PDG zum Minimierungsproblem.- 5 Die Finite-Elemente-Methode.- 5.1 Die numerische Lösung von Minimierungsproblemen.- 5.2 Die Finite-Elemente-Methode (FEM).- 5.3 Praktische Berechnung von Elementmatrizen und -vektoren anhand einiger Beispiele.- 5.4 Globaler Fehler.- 5.5 Ordnungsreduktion mit partieller Integration.- 5.6 Isoparametrische Transformationen.- 6 Eine Fehlerabschätzung für das Poisson-Problem.- 6.1 Die Energienorm.- 6.2 Fehler bei linearer Interpolation.- 6.3 Interpolation höherer Ordnungen.- 6.4 Fehler als Folge der Randnäherung.- 6.5 Fehler als Folge der numerischen Integration.- 6.6 Konvergenz der numerischen Lösung.- 7 Mathematischer Hintergrund der FEM.- 7.1 Konvergenz der Ritzschen Methode.- 7.2 Das abstrakte Minimierungsproblem.- 7.3 Konvergenz der Ritzschen Methode.- 7.4 Konkretisierung von VI; Sobolew-Räume.- 7.5 Sobolew-Räume.- 7.6 Der Energieraum.- 7.7 Konvergenz der FEM für Minimierungsprobleme.- 7.8 Approximationstheorie.- 8 Die Galerkin-Methode.- 8.1 Eine schwache Formulierung.- 8.2 Andere schwache Formulierungen; Testfunktionen.- 8.3 Inhomogene Randbedingungen.- 8.4 Probleme höherer Ordnung.- 8.5 Galerkin-Methode.- 8.6 Einige Beispiele des Gebrauchs der Galerkin-Methode.- 8.7 Die gemischte Methode für Probleme höherer Ordnung.- 8.8Nichtkonforme Elemente.- 9 Mathematischer Hintergrund der Galerkin-Methode.- 9.1 Die Konvektions-Diffusionsgleichung.- 10 Einige in der Literatur oft vorkommende Elemente.- 10.1 Elemente auf Simplizes.- 10.2 Elemente auf Vierecken im ?2.- 10.3 Dreiecke mit krummem Rand im ?2.- 11 Lösungsmethoden für diskretisierte Systeme.- 11.1 Direkte Methoden.- 11.2 Iterative Methoden.- 11.3 Gradientenmethoden.- 11.4 Nichtlineare Systeme.- 12 Konvergenz nichtlinearer Iterationsprozesse.- 12.1 Ein allgemeines Konvergenzergebnis.- 12.2 Anwendung des Satzes von Ostrowski auf den SOR-Newton-Prozeß.- 13 Zeitabhängige Probleme.- 13.1 Parabolische Gleichungen.- 13.2 Hyperbolische Gleichungen.- 13.3 Die Transportgleichung.- 14 Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung.- 14.1 Eine fundamentale Ungleichung.- 14.2 Die Linienmethode.- 14.3 Konsistenz der Ortsdiskretisierung.- 14.4 Zeitintegration.- 14.5 Stabilität der numerischen Integration.- 14.6 Genauigkeit der Zeitintegration.- 14.7 Schlußfolgerung für die Linienmethode.- 14.8 Spezielle Differenzenmethoden für die Wärmeleitungsgleichung.- 15 Die Wellengleichung.- 15.1 Eine grundlegende Gleichheit.- 15.2 Die Linienmethode.- 15.3 Numerische Zeitintegration.- 15.4 Stabilität der numerischen Integration.- 15.5 Totale Dissipation und Dispersion.- 15.6 Direkte Integration des Systems zweiter Ordnung.- 15.7 Das CFL-Kriterium.- 16 Die Transportgleichung.- 16.1 Charakteristiken.- 16.2 Flache Wellen.- 16.3 Numerische Methoden mit festen Gittern.- Anhang 1: Sätze von Gauß, Green und ‘partiellen Integrationen’.- Anhang 2: Einige Sätze aus der linearen Algebra.- Literatur.- Stichwortverzeichnis.

Das Anliegen dieses Buches ist die Präsentation numerischer Methoden für partielle DG in einem Kontext, der für Ingenieure interessant ist. Dies bedeutet, daß versucht wird, physikalisch sinnvolle Probleme zu behandeln und auf physikalisch und technisch relevante Probleme aus der Praxis Bezug zu nehmen. - In dem Buch werden finite Differenz-, Volumen- und Elemente-Methoden nebeneinander dargestellt, die letzteren allerdings in einem anderen Rahmen, als es in der Technik (vor allem in der Statik) üblich ist. Hierdurch soll deutlich gemacht werden, daß das Anwendungsgebiet der Finiten-Elemente-Methode mehr oder weniger universal ist. Sowohl praktische als auch theoretische Betrachtungen werden angestellt, wobei die Poissongleichung, die Diffusionsgleichung, die Schwingungsgleichung und die Transportgleichung stellvertretend für die allgemeineren Gleichungen stehen. Die Theorie in diesem Buch soll keine genauen Fehlerabschätzungen für praktische Situationen liefern, sondern anhand einfacher Modellprobleme einen Einblick in die Vorteile verschiedener Methoden liefern."... Für Ingenieure bietet das Buch auf etwa 300 Seiten eine gut lesbare Einführung in die wichtigsten Methoden zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Die Autoren erhöhen die Les- und Lernbarkeit durch eine gute Einteilung des Stoffes, klare Darstellung der Zusammenhänge und die Beschränkung auf die wichtigsten Standardbeispiele. ..." N. Köckler. Zentralblatt für Mathematik, Berlin "... In summary, this book provides the reader with clearly presented numerical methods for solving simple PDEs that are of importance