Technische Mechanik Methodische Einführung: Zweiter Teil Elastostatik und Festigkeitslehre

1 Einführung.- 2 Einblick in die Werkstoffprüfung.- 2.1 Zugversuch.- 2.2 Druckversuch.- 2.3 Dauerschwingversuch.- 3 Spannung.- 3.1 Innere Kraftwirkungen.- 3.2 Spannungsvektor.- 3.3 Einachsiger Spannungszustand.- 3.4 Spannungskomponenten und Momentengleichgewicht.- 3.5 Spannungskomponenten und Spannungsvektor.- 3.6 Spannungsvektor und Spannungstensor bei Drehung des Bezugssystems.- 3.7 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen.- 3.8 Berechnung der Spannungskomponenten für beliebige Schnittflächen bei gegebenen Hauptspannungen.- 3.9 Darstellung des Spannungszustandes mit Hilfe der Mohrschen Kreise.- 3.10 Oktaederspannungen.- 3.11 Extremale Spannungen.- 3.12 Beispiel zum dreiachsigen Spannungszustand.- 3.13 Zweiachsige Spannungszustände.- 3.14 Anwendungen der Mohrschen Kreise bei zweiachsigen Spannungszuständen.- 3.15 Beispiele.- 3.15.1 Ermittlung der Hauptspannungen.- 3.15.2 Ermittlung der Schnittspannungen.- 3.16 Gleichgewichtsbedingungen.- 3.17 Homogener Spannungszustand.- 4 Formänderung.- 4.1 Verschiebungsvektor.- 4.2 Verzerrungstensor.- 4.3 Linearer Verzerrungstensor.- 4.4 Zusammenhang zwischen linearer Verzerrung und Drehung.- 4.5 Lineare Volumdehnung.- 4.6 Kompatibilität.- 4.7 Bezugnahme auf den undeformierten Körper bei geometrischer Linearisierung.- 5 Prinzip der virtuellen Arbeit.- 5.1 Prinzip der virtuellen Arbeit deformierbarer Kontinua mit linearer Verzerrung.- 5.2 Einführung quasi-starrer Oberflächenelemente.- 5.3 Arbeitsprinzip der virtuellen kinematischen Gruppe.- 5.4 Arbeitsprinzip der virtuellen statischen Gruppe.- 6 Linear-isotrope Elastizität.- 6.1 Linear-isotropes Elastizitätsgesetz für den einachsigen Spannungszustand.- 6.2 Linear-isotropes Elastizitätsgesetz für den dreiachsigen Spannungszustand.- 7 Linear-isotrope Thermoelastizität.- 7.1 Thermische Formänderung.- 7.2 Thermoelastische Formänderung.- 8 Verzerrungsarbeit.- 8.1 Verzerrungsarbeit bei Isotropie für einachsigen Zug.- 8.2 Verzerrungsarbeit bei Isotropie für den dreiachsigen Spannungszustand.- 9 Folgerungen aus dem Arbeitsprinzip.- 9.1 Sätze von Castigliano.- 9.2 Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme.- 10 Steifigkeit, Nachgiebigkeit, virtuelle Arbeit und Superposition in der linearen Elastostatik.- 10.1 Steifigkeit, Nachgiebigkeit und virtuelle Arbeit.- 10.2 Superposition.- 11 Festigkeitshypothesen.- 11.1 Normalspannungshypothese.- 11.2 Schubhypothese.- 11.3 Oktaederschubhypothese oder Hypothese der Gestaltänderungsenergie.- 11.4 Effektivspannung und -dehnung.- 11.5 Zug oder Druck und Schub.- 11.6 Weitere Hypothesen.- 12 Zug und Druck.- 12.1 Prismatische Stäbe bei reiner Zugbeanspruchung.- 12.2 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt.- 12.3 Stabverlängerung.- 12.4 Druckbeanspruchung.- 12.4.1 Kontaktspannungen in Druckflächen.- 12.4.2 Druckbeanspruchte schlanke Bauteile.- 12.5 Beispiele.- 12.5.1 Keilförmiger Stab.- 12.5.2 Konischer Stab.- 12.5.3 Wärmespannungen im beiderseits eingespannten Stab.- 12.5.4 Drei parallel eingespannte Stäbe.- 12.5.5 Stab im Fliehkraftfeld.- 13 Fachwerke.- 13.1 Bezeichnungen.- 13.2 Gleichgewicht.- 13.3 Formänderung.- 13.4 Stoffgesetz.- 13.5 Aufteilung der Kräfte.- 13.6 Prinzip der virtuellen Arbeit.- 13.7 Verzerrungsarbeit.- 13.8 Steifigkeit und Nachgiebigkeit.- 13.9 Anwendung der Sätze von Castigliano.- 13.10 Kinematisches Verfahren.- 13.11 Statisches Verfahren.- 13.12 Verfahren für statisch bestimmte Fachwerke.- 13.13 Beispiele.- 13.13.1 Beiderseits eingespannte Stabkette bei beliebiger Temperaturerhöhung und mit äußerer Kraft an beliebiger Stelle in Stabrichtung.- 13.13.2 Zweistabknoten.- 13.13.3 Räumlicher Dreistabknoten.- 13.13.4 Statisch unbestimmter Stabknoten.- 13.13.5 Einfach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk.- 13.13.6 Zweifach statisch unbestimmtes ebenes Fachwerk.- 13.13.7 Zweifach statisch unbestimmtes Raumfachwerk.- 14 Dünne Kreisringe.- 14.1 Gleichgewicht.- 14.2 Formänderung.- 14.3 Ring als Glied einer Schrumpfverbindung.- 14.4 Rotierender Ring.- 14.5 Beispiele.- 14.5.1 Aufgeschrumpfter Ring.- 14.5.2 Schrumpfverbindung aus zwei Ringen.- 15 Drehsymmetrische Membranschalen.- 15.1 Geometrie.- 15.2 Gleichgewicht.- 15.3 Drehsymmetrischer Spannungszustand.- 15.4 Drehsymmetrische Membranschale als kraftübertragendes Bauglied.- 15.5 Beispiele.- 15.5.1 Halbkugelschale unter Eigengewicht.- 15.5.2 Kegelschale unter Außendruck.- 16 Schub.- 16.1 Elastizitätsgesetz und Verzerrungsarbeit bei Schub.- 16.2 Schraub- und Nietverbindungen.- 16.2.1 Bolzenschub- und Lochleibungsbeanspruchung.- 16.2.2 Bolzenreihe bei Längsschub.- 16.2.3 Versteifungsblech.- 16.2.4 Unsymmetrisch belastetes ebenes Schraub- oder Nietfeld.- 16.3 Kontinuierliche Verbindungen.- 16.3.1 Parallele Schweißnähte oder Klebschichten bei Längsschub.- 16.3.2 Schweiß- oder Klebverbindung gleicher Festigkeit.- 16.3.3 Schweiß- oder Klebverbindung zweier Bleche oder Stäbe mit konstantem Querschnitt.- 16.3.4 Versteifung.- 16.3.5 Ebene Schweiß- oder Klebverbindung bei Belastung durch Kräfte in ihrer Ebene.- 16.4 Beispiele.- 16.4.1 Durch Bolzen befestigte Platte.- 16.4.2 Schweißverbindung zweier Stäbe durch zwei parallele Längsnähte.- 16.4.3 Angeschweißte Versteifung.- 16.4.4 Durch zwei parallele Schweißnähte angeschweißte und in ihrer Mittelebene belastete Platte.- 17 Biegung.- 17.1 Allgemeiner einachsiger Spannungszustand.- 17.2 Flächenträgheitsmomente bei Parallelverschiebung der Bezugsachsen.- 17.3 Flächenträgheitsmomente bei Drehung der Bezugsachsen.- 17.4 Beispiele.- 17.4.1 Kreis.- 17.4.2 Kreisring.- 17.4.3 Ellipse.- 17.4.4 Rechteck.- 17.4.5 Doppelsymmetrischer Kastenquerschnitt.- 17.4.6 I-Querschnitt.- 17.4.7 Symmetrischer Winkel.- 17.4.8 Dreieck.- 17.4.9 Unregelmäßige Querschnittsform.- 17.4.10 Dünnwandige Querschnitte.- 17.5 Biegung mit Normalkraft.- 17.5.1 Spannung bei zweiachsiger Biegung mit Normalkraft.- 17.5.2 Spannung bei einachsiger Biegung mit Normalkraft.- 17.5.3 Zulässige Beanspruchung, Tragfähigkeit und Dimensionierung.- 17.5.4 Nullinie und Kern.- 17.5.5 Druck mit Biegung bei versagendem Zuggebiet.- 17.6 Beispiele.- 17.6.1 Dimensionierung eines Biegeträgers.- 17.6.2 Rechteckquerschnitt bei zweiachsiger Biegung mit Normalkraft.- 17.6.3 Kern des elliptischen Querschnittes.- 17.6.4 Kern des symmetrischen Winkels.- 17.6.5 Kern des Dreiecks.- 17.6.6 Einseitig eingespannter Träger.- 17.6.7 Unsymmetrischer Querschnitt bei exzentrischer Druckbelastung.- 17.7 Formänderung bei einachsiger Biegung.- 17.7.1 Verzerrungen und Verschiebungen bei reiner Biegung.- 17.7.2 Differentialgleichungen der einachsigen Biegung mit Querkraft.- 17.7.3 Arbeitsgleichung.- 17.7.4 Integraldarstellungen der Durchbiegung und des Biegewinkels, sowie Kompatibilitätsbedingungen.- 17.7.5 Verfahren von Mohr.- 17.7.6 Virtuelle und wirkliche Verzerrungsarbeit.- 17.8 Beispiele.- 17.8.1 Einseitig eingespannter Stab mit Einzellast.- 17.8.2 Einseitig eingespannter Stab mit konstanter Streckenlast.- 17.8.3 Einseitig eingespannter Stab mit linear anwachsender Streckenlast.- 17.8.4 Beiderseits frei aufliegender Stab mit konstanter Strekkenlast.- 17.8.5 Beiderseits eingespannter Stab mit konstanter Streckenlast.- 17.8.6 Beiderseits frei aufliegender Stab mit einer linear ansteigenden und einer konstanten Streckenlast.- 17.8.7 Beiderseits frei aufliegender Stab mit Einzellast.- 17.8.8 Beiderseits frei aufliegender Stab mit von den Auflagern zur Mitte linear ansteigender Streckenlast.- 17.8.9 Statisch bestimmt gestützter Träger mit Kragarm, belastet durch zwei Einzelkräfte.- 17.8.10 Gerberträger mit Einzellasten.- 17.8.11 Beiderseits frei aufliegender Träger mit veränderlichem Querschnitt unter zwei Einzellasten.- 17.9 Biegung von Stäben mit gekrümmter Mittellinie.- 17.9.1 Stäbe mit ebener Vorkrümmung.- 17.9.2 Verzerrungsarbeit.- 17.9.3 Verfahren für stark gekrümmte Stäbe.- 17.10 Beispiele.- 17.10.1 Halbkreisbogen bei statisch bestimmter Lagerung mit symmetrisch angreifender Einzellast.- 17.10.2 Halbkreisbogen bei statisch unbestimmter Lagerung.- 17.10.3 Parabelbogen bei statisch bestimmter Lagerung.- 17.10.4 Parabelbogen bei statisch unbestimmter Lagerung.- 17.10.5 Rahmen bei statisch bestimmter Auflagerung.- 17.10.6 Rahmen bei statisch unbestimmter Auflagerung.- 17.10.7 Zweistieliger Rahmen.- 17.10.8 Geschlossener Ring.- 17.10.9 Schwungrad.- 18 Torsion.- 18.1 Kreiszylindrische Stäbe.- 18.2 Dünnwandige Stäbe mit zweifach zusammenhängendem Querschnitt.- 18.2.1 Gleichgewicht.- 18.2.2 Formänderung.- 18.3 Bestimmung des Drehpols.- 18.4 Dünnwandige Stäbe mit drei- oder mehrfach zusammenhängendem Querschnitt.- 18.5 Dünnwandige Stäbe mit einfach zusammenhängendem Querschnitt.- 18.6 Beispiele.- 18.6.1 Dünnwandiges Rohr konstanter Wandstärke mit Kreisquerschnitt.- 18.6.2 Doppelsymmetrischer Kastenträger.- 18.6.3 Einfach symmetrischer Kastenträger.- 18.6.4 Aus einem Halbkreis und einer Geraden bestehender Querschnitt konstanter Wandstärke.- 18.6.5 Dünnwandiger Träger mit dreifach zusammenhängendem Kastenquerschnitt konstanter Wandstärke.- 18.6.6 Schmaler elliptischer Querschnitt.- 18.6.7 Schmaler Rechteckquerschnitt.- 18.6.8 Schmaler Trapezquerschnitt.- 18.6.9 Querschnitt mit gerader Mittellinie und stückweise konstanter Wandstärke.- 18.6.10 Halbkreisprofil.- 18.6.11 Winkelprofil.- 18.6.12 U-Profil.- 18.6.13 T-Profil.- 18.6.14 Profil mit Verzweigungspunkt.- 18.6.15 Z-Profil.- 18.6.16 I-Profil.- 18.7 Wölbfreie Torsion.- 18.7.1 Dünnwandige zweifach zusammenhängende wölbfreie Querschnitte.- 18.7.2 Dünnwandige drei- und mehrfach zusammenhängende wölbfreie Querschnitte.- 18.7.3 Dünnwandige einfach zusammenhängende Querschnitte.- 18.8 Beispiele.- 18.8.1 Dreifach zusammenhängender wölbfreier Querschnitt.- 18.8.2 Vierfach zusammenhängender wölbfreier Querschnitt.- 18.9 Wölbbehinderte Torsion.- 18.9.1 Grundgleichungen zur profiltreuen wölbbehinderten Torsion.- 18.9.2 Näherungslösung zur profiltreuen wölbbehinderten Torsion.- 18.10 Beispiele.- 18.10.1 Einseitig wölbverhindert eingespannter tordierter Stab.- 18.10.2 Einseitig wölb verhindert eingespannter Stab mit am anderen Ende unter Wölbverhinderung eingeleitetem Torsionsmoment.- 18.10.3 Vergleich eines wölbfreien Kastenträgers mit einem I-Träger bei verhinderter Endverwölbung.- 18.10.4 Beiderseits wölbverhindert eingespannter Stab mit Einzelmoment.- 18.10.5 Einseitig wölbverhindert eingespannter Stab mit konstantem Streckenmoment.- 18.10.6 Beiderseits wölbverhindert eingespannter Stab mit konstantem Streckenmoment.- 19 Querschub.- 19.1 Vollquerschnitte.- 19.2 Beispiele.- 19.2.1 Rechteckquerschnitt.- 19.2.2 Kreisquerschnitt.- 19.2.3 Elliptischer Querschnitt.- 19.2.4 I-Querschnitt.- 19.3 Dünnwandige Querschnitte.- 19.3.1 Einfach zusammenhängende dünnwandige Querschnitte.- 19.3.2 Zweifach zusammenhängende dünnwandige Querschnitte.- 19.3.3 Drei- und mehrfach zusammenhängende dünnwandige Querschnitte.- 19.3.4 Schubmittelpunkt und Drehpol.- 19.4 Beispiele.- 19.4.1 U-Profil.- 19.4.2 Halbkreisprofil.- 19.4.3 Dünnwandiges Rohr mit Kreisquerschnitt.- 19.4.4 Kastenquerschnitt.- 19.4.5 Dreifach zusammenhängender Kastenquerschnitt konstanter Wandstärke.- 19.5 Querschubdeformation bei Biegung.- 20 Stäbe unter kombinierter Belastung.- 20.1 Virtuelle Arbeit bei kombinierter Belastung.- 20.2 Beispiele.- 20.2.1 Einseitig eingespannter kreisförmig gekrümmter Stab mit Einzellast.- 20.2.2 Beiderseits eingespannter Kreisbogenstab mit Einzellast.- 20.2.3 Spiralfeder.- 21 Kräftepotential und Stabilität.- 21.1 Potential der äußeren Kraftgrößen.- 21.2 Potential der Zwangskraftgrößen.- 21.3 Potential der elastischen Kraftgrößen.- 21.4 Gesamtpotential und Gleichgewicht.- 21.5 Stabilität, Labilität und Indifferenz.- 21.6 Beispiele.- 21.6.1 Drehbar gelagerte Stange mit zwei Gewichten.- 21.6.2 Drehbar gelagerter, durch Federn gestützter starrer Druckstab.- 21.6.3 Starrer Druckstab mit seitlichen Federn und einem Zwischengelenk.- 21.6.4 Starrer Druckstab mit seitlichen Federn und zwei Zwischengelenken.- 21.7 Knickung.- 21.7.1 Knicken des druckbeanspruchten elastischen Stabes.- 21.7.2 Verschiedene Auflagerungsarten.- 21.7.3 Krafteinleitungs- und Herstellungsungenauigkeiten.- 21.7.4 Schlankheitsgrad und ?-Verfahren.- 22 Berücksichtigung der Abweichungen vom linearen Elastizitätsgesetz.- Anhang: Beispiele für Walzprofile.- Schrifttum.