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Vorlesungen Über Differential- und Integralrechnung: Erster Band: Funktionen Einer Veränderlichen

Autor Richard Courant
de Limba Germană Paperback – 31 dec 1929
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Specificații

ISBN-13: 9783642987397
ISBN-10: 3642987397
Pagini: 428
Ilustrații: 410 S.
Dimensiuni: 155 x 235 x 25 mm
Greutate: 0.59 kg
Ediția:2. Aufl. 1927
Editura: Springer Berlin, Heidelberg
Colecția Springer
Locul publicării:Berlin, Heidelberg, Germany

Public țintă

Research

Descriere

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Cuprins

Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel. Vorbereitungen..- § 1. Der Zahlbegriff.- Das System der reellen Zahlen. S..- Die Zahlensysteme. S..- § 2. Der Funktionsbegriff.- Beispiele. S..- Begriffliche Formulierung. S..- Graphische Darstellung. Eindeutigkeit und Mehrdeutigkeit. Stetigkeit. S..- Umkehrfunktionen. S..- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen.- Die rationalen Funktionen. S..- Algebraische Funktionen. S..- Die trigonometrischen Funktionen. S..- Exponentialfunktion und Logarithmus. S..- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen.- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele.- $$ {a_n}=\frac{1}{n}\bullet $$ S..- $$ {a_{{2m}}}=\frac{1}{m};\,{a_{{2m-1}}}=\frac{1}{{2m}}\bullet $$ S..- $$ {a_n}=\frac{n}{{n+1}}\bullet $$ S..- $$ {a_n}=\sqrt[n]{p}\bullet $$ S..- $$ {a_n}={\alpha^n}\bullet $$ S..- Zur geometrischen Veranschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$ {\alpha^n}\,und\,\sqrt[n]{p}\bullet $$ S..- Die geometrische Reihe.S..- $$ {a_n}=\sqrt[n]{n}\bullet $$S..- $$ {a_n}=\sqrt {{n+1}}-\sqrt {n} \bullet $$ S..- $$ {a_n}=\frac{n}{{2n}}\bullet $$ S..- Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes.- Allgemeines. S..- Rechnen mit Grenzwerten. S..- Die Zahl e. S..- Die Zahl n als Grenzwert. S..- Das arithmetisch-geometrische Mittel. S..- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen.- § 8. Der Begriff der Stetigkeit.- Definitionen. S..- Unstetigkeitspunkte. S..- Sätze über stetige Funktionen. S..- Anhang zum ersten Kapitel..- Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen.- Das Häufungsstellen-Prinzip. S..- Grenzwerte von Zahlenfolgen. Beweis des Cauchyschen Konvergenzkriteriums. S..- Oberer und unterer Häufungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge. S..- § 2. Sätze über stetige Funktionen.- Größter und kleinster Wert stetiger Funktionen. S..- Die Gleichmäßigkeit der Stetigkeit. S..- Der Zwischenwertsatz. S..- Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion. S..- Weitere Sätze über stetige Funktionen. S..- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- § 4. Polarkoordinaten.- § 5. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel. Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung..- § 1. Das bestimmte Integral.- Das Integral als Flächeninhalt. S..- Die analytische Definition des Integrales. S..- Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral. S..- § 2. Beispiele.- Erstes Beispiel. S..- Zweites Beispiel. S..- Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen a. S..- Integration von x? für beliebiges rationales ? ?-1. S..- Integration von sin x und cos x. S..- § 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient.- Differentialquotient und Kurventangente. S..- Der Differentialquotient als Geschwindigkeit. S..- Beispiele. S..- Einige Grundregeln für die Differentiation. S..- Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen. S..- Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung. S..- Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von Leibniz. S..- Der Mittelwertsatz. S..- Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare. — Differentiale. S..- Bemerkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissenschaft. S..- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung.- Das Integral als Funktion der oberen Grenze. S..- Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales. S..- Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales. S..- Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale. S..- Einige Beispiele. S..- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten.- Die Massenverteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität. S..- Gesichtspunkte der Anwendungen. S..- § 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. S..- Anwendungen. Die Integration von x? für beliebiges irrationales a. S..- Anhang zum zweiten Kapitel..- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem.- Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel. Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen..- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen 109 Differentiationsregeln. S..- Differentiation der rationalen Funktionen. S..- Differentiation der trigonometrischen Funktionen. S..- § 2. Die entsprechenden Integralformeln.- Allgemeine Integrationsregeln. S..- Integration der einfachsten Funktionen. S..- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient.- Die allgemeine Differentiationsformel. S..- Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen. S..- Die zugehörigen Integralformeln. S..- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen.- Die Kettenregel. S..- Beispiele. S..- Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ?. S..- § 5. Maxima und Minima.- Allgemeine Vorbemerkungen über die geometrische Bedeutung der Differentialquotienten. S..- Maxima und Minima. S..- Beispiele für Maxima und Minima. S. 131..- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- Definition des Logarithmus. Differentiationsformel. S..- Das Additionstheorem. S..- Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus. S..- Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion). S..- Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x?. S..- Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte. S..- Schlußbemerkungen. S..- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion.- Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung. S..- Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall. S..- Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium. S..- Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden. S..- Verlauf chemischer Reaktionen. S..- Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes. S..- § 8. Die Hyperbelfunktionen.- Analytische Definition. S..- Additionstheoreme und Differentiationsformeln. S..- Die Umkehrfunktionen. S..- Weitere Analogien. S..- § 9. Die Größenordnung von Funktionen.- Begriff der Größenordnung. Einfachste Fälle. S..- Die Größenordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus. S..- Allgemeine Bemerkungen. S..- Die Größenordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes. S..- Größenordnung des Verschwindens einer Funktion. S..- Anhang zum dritten Kapitel..- §1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen.- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{{{x^2}}}}}}\bullet $$ S..- Die Funktion $$ y={e^{{-\frac{1}{x}}}}\bullet $$ S..- Die Funktion $$y = \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S..- Die Funktion $$y = x \mathfrak{T}\mathfrak{g}\frac{1}{x}.$$ S..- Die Funktion $$ y=x\,\sin \,\frac{1}{x},\,y(0)=0\bullet $$ S..- § 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- § 3. Verschiedene Einzelheiten.- Beweis des binomischen Satzes. S..- Fortgesetzte Differentiation. S..- Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz. S..- Viertes Kapitel. Weiterer Ausbau der Integralrechnung..- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel.- Die Substitutionsformel. S..- Neuer Beweis der Substitutionsformel. S..- Beispiele. Integrationsformeln. S..- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration.- Allgemeines. S..- Beispiele. S..- Rekursionsformeln. S..- Die Wallissche Produktzerlegung von ?. S..- § 5. Integration der rationalen Funktionen.- Aufstellung der Grundtypen. S..- Integration der Grundtypen. S..- Die Partialbruchzerlegung. S..- Beispiel. Chemische Reaktionen. S..- Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten.) S..- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen.- Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen. S..- Integration von R (cos x, sin x). S..- Integration von R (Cof x, Sin x). S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{1-{x^2}}}} \right)\bullet $$ S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S..- — Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{{x^2}+1}}} \right)\bullet $$ S..- Integration von $$ R\left({x,\sqrt {{a{x^2}+2bx+c}}} \right)\bullet $$ S..- Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen. S..- Bemerkungen zu den Beispielen. S..- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren.- Funktionen integrieren lassen.- Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale. S..- Grundsätzliches über Differentiation und Integration. S..- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale.- Funktionen mit Sprungstellen. S..- Funktionen mit Unendlichkeitsstellen. S..- Unendliches Integrationsintervall. S..- Fünftes Kapitel. Anwendungen..- § 1. Darstellung von Kurven.- Die Parameterdarstellung. S..- Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung. S..- Übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung. S..- Allgemeine Bemerkungen. S..- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven.- Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten. S..- Flächeninhalt in Polakroordinaten. S..- Länge einer Kurve. S..- Die Krümmung einer Kurve. S..- Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve. S..- Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche. S..- Trägheitsmoment. S..- § 3. Beispiele.- Die gemeine Zykloide. S..- Kettenlinie. S..- Ellipse und Lemniskate. S..- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik.- Grundvoraussetzungen aus der Mechanik. S..- Freier Fall. Reibung. S..- Die einfachste elastische Schwingung. S..- Die allgemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve. S..- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve...- Allgemeines. S..- Diskussion der Bewegung. S..- Das gewöhnliche Pendel. S..- Das Zykloidenpendel. S..- § 6. Arbeit.- Allgemeines. S..- Erstes Beispiel. Massenanziehung. S..- — Zweites Beispiel. Spannen einer Feder. S..- Drittes Beispiel. Aufladen eines Kondensators. S..- Anhang zum fünften Kapitel..- Eigenschaften der Evolute.- Sechstes Kapitel. Die Taylorsche Formel und die Annäherung von Funktionen durch ganze rationale..- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens.- Der Logarithmus. S..- Der Arcustangens. S..- § 2. Die allgemeine Taylorsche Formel.- Die Taylorsche Formel für ganze rationale Funktionen. S..- Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion. S..- Abschätzung des Restgliedes. S..- § 3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen.- Die Exponentialfunktion. S..- sin x, cos x, Sin x, (Cof x. S..- — Die binomische Reihe. S..- § 4. Geometrische Anwendungen.- Berührung von Kurven. S..- Der Krümmungskreis als Oskulationskreis. S..- Zur Theorie der Maxima und Minima. S..- Anhang zum sechsten Kapitel..- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine Taylorsche Reihe.- entwickeln läßt.- § 2. Beweis der Irrationalität von e.- § 3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sogenannte unbestimmte Ausdrücke.- § 4. Das Problem der Interpolation und sein Zusammenhang mit der Taylorschen Formel.- Problemstellung und Vorbemerkungen. S..- Konstruktion der Lösung. Die Steigungen einer Funktion. Die Newtonsche Interpolationsformel. S..- Zusammenhang zwischen Steigungen und Ableitungen. Restabschätzungen. S..- Die Interpolationsformel von Lagrange. S..- Siebentes Kapitel. Exkurs über numerische Methoden..- Vorbemerkungen.- § I. Numerische Integration.- Rechtecksregel. S..- Trapezformel und Tangentenformel. S..- — Die Simpsonsche Regel. S..- Beispiele. S..- Fehlerabschätzung. S..- § 2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des Taylorschen Satzes281 Die,,Fehlerrechnung“. S..- Berechnung von n. S..- Berechnung der Logarithmen. S..- § 3. Numerische Auflösung von Gleichungen.- Das Verfahren von Newton. S..- Regula falsi. S..- Beispiel. S..- Anhang zum siebenten Kapitel..- Die Stirlingsche Formel.- Achtes Kapitel. Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse..- Vorbemerkungen.- § 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz.- Grundbegriffe. S. 293..- Absolute und bedingte Konvergenz. S..- Umordnung der Reihenglieder. S..- Das Rechnen mit unendlichen Reihen. S..- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz.- Das Prinzip der Reihenvergleichung. S..- Vergleichung mit der geometrischen Reihe. S..- Vergleichung mit einem Integral. S..- § 3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen.. 307 Allgemeines. S..- Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven. S..- § 4. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz.- Allgemeines und Beispiele. S..- Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz. S..- Stetigkeit gleichmäßig konvergenter Reihen stetiger Funktionen. S..- Die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen. S..- Differentiation unendlicher Reihen. S..- § 5. Potenzreihen.- Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe. S..- Die Integration und Differentiation von Potenzreihen. S..- Das Rechnen mit Potenzreihen. S..- Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen. S..- §6. Entwickelung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele.- Die Exponentialfunktion. S..- Die binomische Reihe. S..- Die Reihe für arc sin x. S..- Die Potenzreihenentwicklung von Ax Sin $$\mathfrak{A}\mathfrak{r} \mathfrak{S}\mathfrak{i}\mathfrak{n} x = \log (x + \sqrt 1 + \sqrt {{x^2}} ).$$ S..- Beispiel für Reihenmultiplikation. S..- Beispiel für gliedweises Integrieren. Elliptisches Integral. S..- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern.- Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen. S..- Ausblick auf die allgemeine Funktionentheorie. S..- Anhang zum achten Kapitel..- § 1. Multiplikation und Division von Reihen.- Multiplikation absolut konvergenter Reihen. S..- Multiplikation und Division von Potenzreihen. S..- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen..- Die Gleichmäßigkeit des Grenzüberganges $$ {\left({1+\frac{x}{n}} \right)^n} \to {e^x}\bullet $$ S..- Bemerkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion. S..- Beweis der Formel $$ \int\limits_0^{\infty} {{e^{{-{x^2}}}}} \,dx=\frac{1}{2}\sqrt {\pi} \bullet $$ S..- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 4. Unendliche Produkte.- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen.- Verschiedene Entwicklungen. S..- Reihen, in denen die Bernoullischen Zahlen auftreten. S..- Neuntes Kapitel. Fouriersche Reihen..- § 1. Die periodischen Funktionen.- Allgemeines. S..- Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen. S..- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise.- Allgemeine Bemerkungen. S..- Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom. S..- Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen. S..- Ableitung einer trigonometrischen Formel. S..- §3. Trigonometrische Interpolation.- Lösung des Interpolationsproblems. S..- Grenzübergang zur Fourierschen Reihe. S..- § 4. Beispiele für die Fouriersche Reihe.- Vorbemerkungen. S..- Entwicklung der Funktionen ? (x)=x und ? (x)=x2. S..- Entwicklung der Funktion x cos x. S..- f (x)= | x |. S..- Beispiel. S..- f (x)=| sin x |. S..- Entwicklung der Funktion cos ? x. Partialbruchzerlegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus. S..- Weitere Beispiele. S..- § 5. Strenge Begründung der Fourierschen Reihenentwicklung.- Die Konvergenz der Fourierschen Reihe einer stückweise glatten Funktion. S..- Genauere Untersuchung der Konvergenz. S..- § 6. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome.- Anhang zum neunten Kapitel..- Beispiele zur trigonometrischen Interpolation.- Vorbemerkungen. S..- Einzelne Beispiele. S..- Zehntes Kapitel. Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge..- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik.- Einfachste mechanische Schwingungen. S..- Elektrische Schwingungen. S..- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen.- Formale Auflösung. S..- Physikalische Deutung der Lösung. S..- Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit der Lösung. S..- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen.- Allgemeine Bemerkungen. S..- Lösung der unhomogenen Gleichung. S..- Die Resonanzkurve. S..- Nähere Diskussion des Schwingungsablaufes. S..- Bemerkungen über den Bau von Registrierinstrumenten. S..- Schlußbemerkung.