Vorlesungen über Zahlentheorie: Erster Band: Erste bis Dreiunddreissigste Vorlesung

des ersten Bandes.- Erste Vorlesung.- Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. — Geschichte der Arithmetik. Die orientalischen Völker. Die Arithmetik bei den Griechen. — Euklid. Die Elemente. Vollkommene Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe enthält unendlich viele Primzahlen. — Diophant. Theon. Hypatia. — Die Araber. Die arabischen Ziffern.- Zweite Vorlesung.- Niedergang der Wissenschaft8n im Mittelalter. — Die Arithmetik im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. — Fermat und einige von seinen Sätzen. — Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. — Die Polygonalzahlen. — Der sog. grofse Fermatsche Satz: Die Gleichung xn+yn = zn ist nur für n = 2 in ganzen Zahlen lösbar. — Euler; sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. — Die vollkommenen und die befreundeten Zahlen. — Diophantische Probleme. — Eulers Lösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n = 2 und n = 4. — Die Pellsche Gleichung. — Das Reciprocitätsgesetz. — Legendre und sein Essai sur la théorie des nombres.- Dritte Vorlesung.- Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahrhundert. — Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in den disquisitiones arithmeticae. — Inhaltsübersicht. — Das Problem der Kreisteilung. — Dirichlet, Jacobi, Kummer. — Theorie der algebraischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. — Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie. — Beispiele: Die Binomiásl- und Polynomialkoefficienten sind ganze Zahlen. — Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.- Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen.- Vierte Vorlesung.- Systematische Arithmetik. — Der Zahlbegriff. — Die Ordnungszahlen. — Die Kardinalzahlen. — Der Begriff der Anzahl. — Addition. — Vertauschbarkeit der Summanden. — Die Multiplikation. — Vertauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.- Fünfte Vorlesung.- Die Dekomposition der Zahlen. — Bestimmung der Teiler einer Zahl. — Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. — Aufstellung aller Teiler einer Zahl. — Die Primzahlen. — Elementare Eigenschaften der Primzahlen. — Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. — Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.- Sechste Vorlesung.- Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. — Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. — Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen und ihr gröfster gemeinsamer Teiler. — Teiler-fremde Zahlen. — Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. — Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen. — Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. — Die Summe der nten Potenzen aller Divisoren einer Zahl.- Siebente Vorlesung.- Die Kongruenz der Zahlen. — Kongruenz und Äquivalenz. — Die Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen.. — Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Anwendungen.- Achte Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen. — Aufsuchung ihrer Wurzeln. — Hauptsätze über die höheren Kongruenzen. — Anzahl der Wurzeln einer Kongruenz. — Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Anwendungen: Der Wilsonsche und der Fermatscho Satz.- Neunte Vorlesung.- Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl ihrer Wurzeln. — Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me- thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Die Einheiten modulo p. — Beweis des Wilsonschen Satzes. — Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.- Zehnte Vorlesung.- Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. — Die Einheiten und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. — Die Anzahl ? (m) der. Einheiten modulo m. — Die Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. — Bestimmung der Zahl ? (m). — Die Ver. allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.- Elfte Vorlesung.- Die Invarianten der Kongruenz. — Arithmetische und analytische Invarianten. — Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische Funktion aller kongruenten Zahlen. — Arithmetische Untersuchung der Fundamentalinvariante der Kongruenz..- Zweiter Teil. Die Rationalitätsberelehe und die Theorie der Modulsysteme.- Zwölfte Vorlesung.- Die Kongruenz nach einem. Modulsystem. — Teiler eines Modulsystems. — Äquivalente Modulsysteme. — Reduktion der Modulsysteme. — Theorie der ganzzahligen Formen. — Äquivalente Formen. — Einheitsformen.- Dreizehnte Vorlesung.- Die.Rationalitätsbereiche. — Allgemeine Theorie der Modulsysteme — Allgemeine Theorie der Formen. Der gröfste gemeinsame Teiler zweier Divisorensysteme. — Die Komposition der Modulsysteme. — Anwendungen. — Die Verallgemeinerung des Fermatschen Theoremes.- Vierzehnte Vorlesung.- Der Rationalitätsbereich von einer Veränderlichen. — Das Euklidische Verfahren zur Bestimmung des gröfsten gemeinsamen Teilers für diesen Bereich. — Die Modulsysteme erster und zweiter Stufe. — Beispiele. — Reine und gemischte Modulsysteme zweiter Stufe.- Fünfzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme erster Stufe oder die ganzen ganzzahligen Funktionen. — Ihre Zerlegung in irreduktible Faktoren. — Beweis der Eindeutigkeit dieser Zerlegung. — Hülfssätze.- Sechzehnte Vorlesung.- Die reinen Divisorensysteme zweiter Stufe. — Ihre charakteristischen Eigenschaften. — Die Anzahl der inkongruenten Gröfsen ist stets endlich. — Die Einheiten. — Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. — Komplementäre Einheiten.- Siebzehnte Vorlesung.- Die Dekomposition der reinen Modulsysteme zweiter Stufe (m, fi(x)). — Zerlegung derselben in die Systeme (ph, fi(x)). — Reduktion der einfachsten Systeme (p, fi(x)). — Reduktion der Systeme (p2, fi(x)) und (p3, fi(x)). — Die reduzierte Form der Systeme zweiter Stufe.- Achtzehnte Vorlesung.- Erste Reduktion eines beliebigen Modulsystemes (ph, fi, ... fv). — Weitere Reduktion desselben Systemes. — Beweis, daSs das so gefundene System ein reduziertes ist.- Neunzehnte Vorlesung.- Die Teiler modulo p der ganzen Funktionen von x. — Der gröfste gemeinsame Teiler modulo p. — Die Primfunktionen modulo p. — Die Primmodulsysteme (p, P(x)). — Ihre Analogie mit den Primzahlen. — Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Funktionen in Primfaktoren modulo p. — Zerlegung des Systemes (p, f (x)). — Primmodulsysteme und unzerlegbare Modulsysteme. — Untersuchung des Bereiches [x] für ein Primmodulsystem. — Der Fermatsche Satz und der Wilsonsche Satz für ein Primmodulsystem. — Zerlegung der Funktion $$ {{x}^{{{{p}^{n}}}}} $$ — x modulo p. — Die einfachen Modulsysteme. — Ihre Fundamentaleigenschaften. — Dekomposition eines beliebigen Divisorensystemes in einfache Systeme.- Zwanzigste Vorlesung.- Die Modulsysteme im Bereiche von mehreren Veränderlichen. — Die Zerlegung der ganzen Gröfsen in ihre Primfaktoren. — Die Rationalitätsbereiche (x, y, ... z). — Der Rang oder die Stufe der Divisorensysteme. — Geometrische Anwendungen. — Die unzerlegbaren und die Primmodulsysteme. — Der Bereich {x, y, z} und die zugehörigen Primmodulsysteme. — Modulsysteme und Linearformen.- Dritter Teil. Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie.- Einundzwanzigste Vorlesung.- Zahlensysteme. — Neue Begründung der Fundamentaleigenschaften der Funktion ?(n). — Beweis einer arithmetischen Identität. — Die Zahlen ?m. — Die summatorischen Funktionen. — Anwendungen: Die Fundamentaleigenschaft der Zahlen ?m. — Berechnung der Potenzsummen aller inkongruenten Einheiten modulo m.- Zweiundzwanzigste Vorlesung.- Analytischer Beweis der eindeutigen Zerlegbarkeit der Zahlen in ihre Primfaktoren. — Die Dirichletschen Reihen. — Ihre Konvergenz. — Eine Funktion kann nur auf eine Art durch eine Dirichletscbe Reihe dargestellt werden. — Anwendungen: Analytische Begründung arithmetischer Sätze. — Bestimmung der Anzahl und der Summe. aller Teiler einer Zahl. — Untersuchung der Funktion ? (n). — Analytischer Beweis des Satzes, dafs die Anzahl aller Primzahlen unendlich grofs ist. — Analytischer Beweis arithmetischer Reprocitätsgleichungen. — Anwendungen.- Dreiundzwanzigste Vorlesung.- Die Kreisteilungsfunktionen xn — 1. — Die primitiven Funktionen Fn(x) und ihre Eigenschaften. — Die Berechnung der primitiven Funktionen. — Die Kreisteilungsgleichungen und die Wurzeln der Einheit. — Die primitiven nten Einheitswurzeln. — Anwendungen: Die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze.- Vierundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetische Funktion Xn (M, N). — Ihre genaue Berechnung — Anwendung: Bestimmung der Anzahl aller Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze. — Näherungsweise Berechnung der Funktion Xn (M, N). — Die arithmetische Funktion At (A, D). — Ihr ge nauer Wert. — Näherungsweise Berechnung dieser Funktion. — Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dafs zwei beliebige Zahlen teilerfremd sind. — Der Mittelwert arithmetischer Funktionen. — Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Eulerschen Summenformel. — Anwendungen. — Berechnung des Mittelwertes mit Hülfe der Dirichletschen Reihen.- Fünfundzwanzigste Vorlesung.- Die arithmetischen Funktionen von Zahlensystemen und ihre Mittel- werte. — Anwendungen: Die mittleren Werte der Funktionen ?(n) und $$ \frac{{\varphi (n)}}{n}. $$. — Über die arithmetischen Funktionen, welche von den Divisoren einer Zahl abhängen und über die Mittelwerte derselben. — Die gröfseren und kleineren Divisoren einer Zahl.- Sechsundzwanzigste Vorlesung.- Der Mittelwert für die Anzahl der Divisoren. — Folgerungen aus diesem Resultate. — Die Summe der Divisoren. — Die Summe der reziproken Teiler. — Die Summe der Logarithmen aller Teiler. — Der Überschufs der Teiler von der Form 4n + 1 über die von der Form 4n ? 1 und der Mittelwert dieser Anzahl.- Vierter Teil. Allgemeine Theorie der Potenzreste und Beweis des Satzes über die arithmetische Progression.- Siebenundzwanzigste Vorlesung.- Theorie der Potenzreste für einen zusammengesetzten und für einen Primzahlmodul. — Einteilung der Einheiten modulo p nach dem Exponenten, zu welcliem sie gehören. — Die primitiven Wurzeln. — Theorie der Indices für einen Primzahlmodul. — Jacobis „Canon arithmeticus“. — Anwendungen: Die Auflösung linearer Kongruenzen. — Beweis des Wilsonschen Satzes. — Auflösung der. reinen Kongruenzen für einen Primzahlmodul.- Achtundzwanzigste Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen für einen Primzahlmodul. — Die Bedingung für die Existenz einer Kongruenzwurzel. — Erste Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. — Die Systeme oder Matrizen. — Der Rang der Systeme. — Zweite Herleitung der Bedingungen für die Existenz von s inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz. — Die recurrierenden Reihen. — Ihre Ordnung. — Die Ordnung von ganzzahligen recurrierenden Reihen für einen Primzahlmodul. — Der Grad des gröfsten gemeinsamen Teilers zweier ganzzahligen Funktionen für einen Primzahlmodul.- Neunundzwanzigste Vorlesung.- Einteilung der Einheiten für einen zusammengesetzten Modul nach dem Exponenten, zu welchem sie gehören. — Existenzbeweis für die primitiven Wurzeln in Bezug auf eine Primzahlpotenz und das Doppelte einer solchen. — Die Einheiten modulo 2v. — Die Indexsysteme der Einheiten für zusammengesetzte Moduln. — Anwendungen: Die Darstellung aller nicht äquivalenten reduzierten Brüche mit gegebenem Nenner. Die Entwickelung rationaler Brüche nach fallenden Potenzen einer Grundzahl. Die Anzahl der periodischen und nichtperiodischen Glieder dieser Entwickelung. — Anwendung auf die Theorie der Dezimalbrüche.- Dreifsigste Vorlesung.- Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form mh + r, sobald (m, r) = 1 ist. — Beweis dieses Satzes für einige spezielle Fälle. —Schärfere Formulierung der Aufgabe. — Die Charaktere einer Zahl r modulo m. — Grundeigenschaften der Charaktere. — Der Hauptcharakter, die reciproken und die ambigen Charaktere.- Einunddreifsigste Vorlesung.- Beispiel: Der Fall m = 4. Die Anzahl der Primzahlen von der Form 4n + 1 und 4n ? 1 ist unendlich grofs. — Aufstellung der Grundgleichung. — Abschätzung ihrer einzelnen Bestandteile. Spezialisierung der Grundgleichung für die beiden möglichen Fälle und Beweis des Dirichletschen Satzes.- Zweiunddreifsigste Vorlesung.- Der allgemeine Satz über die Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. — Vereinfachung der Aufgabe. — Aufstellung der Grundgleichung. — Abschätzung ihrer Glieder. — Spezialisierung der Grundgleichung: Die dem Hauptcharakter entsprechende Gleichung. — Die den übrigen Charakteren entsprechende Gleichung. Beweis des Diricbletschen Satzes. — Folgerung: Die Primzahlen verteilen sich nahezu gleichmäfsig auf die ?(m) Reihen mx + r.- Dreiunddreifsigste Vorlesung.- Beweis, date die (?(m) — 1) Reihen $$ \sum {\frac{{{{\Omega }^{{\left( k \right)}}}\left( n \right)}}{n}} $$ von Null verschieden sind. — Die den ambigen Charakteren entsprechenden Reihen. — Angabe einer unteren Grenze far ihren Zahlwert. — Die den komplexen Charakteren entsprechenden Reihen. — Bestimmung einer unteren Grenze für den absoluten Betrag derselben. — Über die Anwendung der Dirichletschen Methoden auf höhere Probleme der Arithmetik. — Die linearen, die quadratischen und die allgemeinen zerlegbaren Formen. — Die Theorie der Einheiten.- Anmerkungen zum ersten Bande.