Jacobische elliptische Funktionen, Legendresche elliptische Normalintegrale und spezielle Weierstraßsche Zeta- und Sigma-Funktionen: Praktische Funktionenlehre, cartea 3

5 Jacobische elliptische Funktionen und zugehörige logarithmische Ableitungen.- 108. Definitionen.- 109. Funktionalgleichungen.- 110. Periodenverhalten und Substitutionen.- 111. Funktionswerte an den Stellen $$ 0,\pm \frac{1}{2},\;\pm \frac{{ix}}{2},\;\pm \frac{1}{2},\;\pm \frac{{ix}}{2} $$ bzw. $$ 0,\pm K,\;\pm iK',\;\pm K\pm iK' $$.- 112. Trigonometrische und hyperbolische Reihenentwicklungen.- 113. Potenzreihen-Entwicklungen.- 114. Imaginäre Argumenttransformation, reziproke Modultransformation und imaginäre Modultransformation.- 115. Ableitungen.- 116. Gausssche und Landensche Transformation. Substitutionen für $$ \zeta \pm \frac{1}{4}\;und\;\zeta \pm \frac{{ix}}{4} $$.- 117. Additionstheoreme. Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument. Weitere Substitutionen für $$ \zeta \pm \frac{1}{4}\;und\;\zeta \pm \frac{{ix}}{4}\;sowie\;fur\;\zeta \pm \frac{1}{4}\pm \frac{{ix}}{4} $$.- 118. Die Logarithmen der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 119. Übergänge vom (?, ?)-System auf das (z, k)-System.- 120. Funktionsverlauf der Jacobischen elliptischen Funktionen und der zugehörigen Ableitungen und logarithmischen Ableitungen im Reellen. Ausartungen.- 121. Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung.- 122. Die Integrale der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 123. Die Integrale der logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen.- 6 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und elliptische Normalintegrale erster Gattung. Elliptische Amplitudenfunktion sowie Legendresche F- und E-Funktion. Elliptische Normalintegrale zweiter Gattung. Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktion.- 124. Die 18 Umkehrfunktionen der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrerlogarithmischen Ableitungen. (Elliptische Normalintegrale erster Gattung.) Additionstheoreme der Umkehrfunktionen.- 125. Elliptische Normalintegrale erster Gattung in hyperbolischer Form.- 126. Potenzreihen-Entwicklungen der Umkehrfunktionen.- 127. Die elliptische Amplitudenfunktion ? = am(z, k) und ihre Umkehrfunktion z = F(?, k). Die vier trigonometrischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung.- 128. Darstellung der 18 Umkehrfunktionen und der elliptischen Normalintegrale erster Gattung durch die Funktion F. Die vier hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale erster Gattung und die Funktion F für imaginäres Argument.- 129. Die Legendresche E-Funktion für reelles und imaginäres Argument.- 130. Die 18 Integrale der Quadrate der Jacobischen elliptischen Funktionen und ihrer logarithmischen Ableitungen, die 12 durch Umformung der letzteren entstehenden hyperbolischen Integrale, die 24 Normalintegrale zweiter Gattung und die acht trigonometrischen und hyperbolischen Legendreschen Normalintegrale zweiter Gattung.- 131. Die 46 Normalintegrale erster und zweiter Gattung mit linearen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen.- 132. Jacobische Zeta-Funktion und Heumansche Lambda-Funktion.- 7 Normalintegrale dritter Gattung. Legendresche ?-Funktion. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 133. Die 96 Normalintegrale dritter Gattung in Jacobischer Form.- 134. Die acht zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen gehörigen Normalintegrale dritter Gattung.- 135. 48 Quotientenintegrale und 48 spezielle Normalintegrale dritter Gattung in der Jacobischen Form.- 136. Algebraische Form der elliptischen Normalintegrale dritter Gattung.- 137. Darstellung dervollständigen Normalintegrale dritter Gattung durch Jacobische Zeta- und Heumansche Lambda-Funktionen.- 138. Die ?-Funktion und die Integrale dritter Gattung in trigonometrischer Form.- 139. Die 48 speziellen Normalintegrale dritter Gattung in algebraischer Form.- 140. Weitere sechs spezielle Normalintegrale dritter Gattung.- 141. Zurückführung des allgemeinen elliptischen Integrals in der Legendreschen Form auf Normalintegrale erster, zweiter und dritter Gattung.- 8 Spezielle Weierstraßsche Zeta-Funktionen.- 142. Definitions- und Funktionalgleichungen.- 143. Substitutionen.- 144. Relatives Periodenverhalten. Spezielle Funktionswerte. Funktionsverlauf.- 145. Lineare Beziehungen zu den logarithmischen Ableitungen der Jacobischen elliptischen Funktionen und deren Ableitungen.- 146. Integrale der ?-Funktionen als Weierstrasssche Zeta-Funktionen und Ableitungen der Zeta-Funktionen.- 147. Differentialtransformationen für doppelte und halbe Parameter.- 148. Gausssche und Landensche Transformation.- 149. Additionstheoreme und Transformationsgleichungen für doppeltes und halbes Argument.- 150. Trigonometrische, hyperbolische und Potenzreihen-Entwicklungen.- 151. Homogenitätstransformation der Funktionen 𝖟1 und 𝖟5.- 152. Imaginäre Transformation der Zeta-Funktionen.- 153. Differentialgleichungen.- 9 Spezielle Weierstraßsche Sigma-Funktionen.- 154. Spezielle Weierstrasssche Sigma-Funktionen und zweite logarithmische Ableitungen der Produkte der Theta-Funktionen.- 155. Partielle Differentialgleichungen der Sigma-Funktionen.- 156. Die Jacobischen elliptischen Funktionen und zwei ihrer logarithmischen Ableitungen als Quotienten von Sigma-Funktionen. Neufassung der Additionstheoreme der Jacobischen elliptischen Funktionen. Viererprodukte.