Kurvenintegrale und Begründung der Funktionentheorie

I. Vorkenntnisse aus der Theorie der reellen Funktionen.- 1. Grenzwert einer unendlichen Folge.- 2. Intervall. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion einer Veränderlichen.- 3. Differentialquotient. Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 4. Bestimmtes Integral.- 5. Mittelwert (arithmetisches Mittel) der integrierbaren Funktion f(x) im Intervall (ab).- 6. Unbestimmtes Integral und Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 7. Integral eines Produktes.- 8. Paare von reellen Veränderlichen.- 9. Stetigkeit einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 10. Totale und partielle Differenzierbarkeit einer Funktion f(x,y).- II. Stetige rektifizierbare ebene Kurven.- 11. Stetige reelle Funktionen mit beschränkter Schwankung.- 12. Rektifizierbarkeit dieser Kurven.- 13. Folgerungen aus der Stetigkeit von C.- III. Das Kurvenintegral $$\int\limits_{a,\alpha }^{b,\beta } {\left( {f\left( {x,y} \right)dx + g\left( {x,y} \right)dy} \right)} $$.- 14. Existenz bei Stetigkeit von f(x,y) und g(x,y).- 15. Existenz des Kurvenintegrals bei Integrierbarkeit von f(x,y) und g(x,y).- 16. Folgerungen aus der Summenerklärung des Kurvenintegrals.- 17. Mittelwerte von f(x,y) und g(x,y) längs C.- 18. Approximation des Kurvenintegrals durch ein Treppenintegral.- 19. Fundamentalsatz der Integralrechnung, für Kurvenintegrale.- 20. Elementarer Integralsatz als Folgerung aus dem Fundamentalsatz.- 21. Partielle Integration.- 22. Das Kurvenintegral als Funktion der oberen Grenze.- IV. Kurvenintegral und Stieltjes-Integral.- 23. Jedes Kurvenintegral ein Stieltjes-Integral.- 24. Jedes Stieltjes-Integral mit stetiger Belegungsfunktion ein Kurvenintegral.- 25. Sätze über Stieltjes-Integrale aus solchen über Kurvenintegrale.- V. Der reelle Cauchysche Integralsatz.- 26. Beschränkung auf ein achsenparalleles Rechteck.- 27. Der reelle Cauchysche Integralsatz bei den ältesten Voraussetzungen.- 28. Der reelle Cauchy-Goursatsche Integralsatz.- 29. Die achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von fdx+gdy als Voraussetzung.- VI. Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- 30. Eindeutige Differenzierbarkeit einer Funktion der komplexen Veränderlichen z.- 31. Der komplexe Coursatsche Integralsatz.- 32. Achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von f(z) in einem Bereich G.- 33. Hauptsatz.- 34. Die Cauchysche Integralformel für f(z).- 35. Von der Integralformel zur Potenzreihendarstellung von f(z).- 36. Satz von Morera.- 37. Zusammenfassung für die Begründung der Funktionentheorie.- VII. Angaben über Originalliteratur mit erläuternden Bemerkungen.- Zu Kap. II.- Zu Kap. III — Zu Kap. IV — Zu Kap. V und VI: Historisches zum Cauchyschen Integralsatz und zur Begründung der Funktionentheorie.