Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker

Einführung. Hilfsmittel.- Bemerkungen zum Zahlenrechnen.- Zum Rechenschieber.- Zur Rechenmaschine.- Formelsprache ALGOL.- I. Kapitel Gleichungen.- § 1 Allgemeine Gleichungen mit einer Unbekannten.- 1.1 Einführung.- 1.2 Graphische Näherungslösung.- 1.3 Verbesserung nach Newton.- 1.4 Newton-Verbesserung höherer Ordnung.- 1.5 Lineare und quadratische Interpolation.- 1.6 Iteration.- 1.7 Konvergenzfragen. Lineare und quadratische Konvergenz.- 1.8 Konvergenzbeschleunigung bei linearer Konvergenz.- 1.9 Regula falsi mit fastquadratischer Konvergenz.- 1.10 Komplexe Wurzeln.- 1.11 System zweier Gleichungen für zwei Unbekannte.- § 2 Algebraische Gleichungen: Horner-Schema.- 2.1 Überblick. Allgemeine Eigenschaften.- 2.2 Das Horner-Schema.- 2.3 Das vollständige Horner-Schema.- 2.4 Newtonsche Wurzelverbesserung.- 2.5 Automatische Durchführung bei nur reellen Wurzeln.- 2.6 Kubische Gleichung.- 2.7 Gleichung 4. Grades.- 2.8 Das doppelzeilige Horner-Schema.- 2.9 Das Bairstow-Verfahren.- § 3 Algebraische Gleichungen: Verfahren von Graeffe.- 3.1 Prinzip und Rechenschema des Graeffe-Verfahrens.- 3.2 Graeffe-Verfahren bei reellen Wurzeln.- 3.3 Ein Beispiel.- 3.4 Graeffe-Verfahren bei komplexen Wurzeln.- 3.5 Bestimmung komplexer Wurzeln nach Brodetsky-Smeal.- 3.6 Beispiel zu Brodetsky-Smeal.- § 4 Stabilitätskriterien. Verfahren des Routh-Kriteriums.- 4.1 Fragestellung.- 4.2 Die Sturmsche Kette.- 4.3 Ortskurvenkriterium.- 4.4 Das Routh-Kriterium.- 4.5 Verallgemeinertes Routh-Kriterium.- 4.6 Verfahren von Collatz.- II. Kapitel Lineare Gleichungen und Matrizen.- § 5 Der Gausssche Algorithmus.- 5.1 Prinzip des Algorithmus.- 5.2 Der verkettete Algorithmus.- 5.3 Zeilenvertauschung bei bii = 0.- 5.4 Symmetrische Koeffizientenmatrix.- 5.5 Allgemeine homogene Gleichungssysteme.- 5.6 Allgemeine inhomogene Gleichungen.- § 6 Matrizen.- 6.1 Allgemeine Definitionen und Begriffe.- 6.2 Matrizenmultiplikation.- 6.3 Sätze über Matrizenmultiplikation.- 6.4 Sonderfälle von Matrizenprodukten.- 6.5 Quadratische Formen.- 6.6 Der verkettete Algorithmus als Matrizenoperation.- § 7 Die Kehrmatrix.- 7.1 Begriff und Herleitung der Kehrmatrix.- 7.2 Berechnung der Kehrmatrix.- 7.3 Matrizendivision.- 7.4 Kehrmatrix bei symmetrischer Matrix.- 7.5 Ähnlichkeitstransformation.- § 8 Iterative Behandlung linearer Gleichungssysteme.- 8.1 Das Gauss-Seidelsche Iterationsverfahren.- 8.2 Konvergenz des Verfahrens.- 8.3 Ein Beispiel.- 8.4 Weitere Iterationsverfahren.- 8.5 Nachträgliche Korrekturen.- § 9 Das Eigenwertproblem.- 9.1 Aufgabenstellung.- 9.2 Das System der Eigenvektoren.- 9.3 Entwicklungssatz. Iterierte Vektoren.- 9.4 Überblick über Lösungsmethoden.- 9.5 Die allgemeine Eigenwertaufgabe.- § 10 Eigenwertaufgabe: Iterative Methoden.- 10.1 Das v. Misessche Iterationsverfahren.- 10.2 Betragsgleiche und betragsnahe Eigenwerte.- 10.3 Der Rayleigh-Quotient und seine Verallgemeinerungen.- 10.4 Automatenrechnung. Programme.- 10.5 Transformation der Eigenwerte. Gebrochene Iteration.- 10.6 Gebrochene Iteration nach Wielandt.- 10.7 Bestimmung höherer Eigenwerte: Verfahren von Koch.- III. Kapitel Interpolation und Integration.- § 11 Allgemeine Interpolationsformeln.- 11.1 Aufgabenstellung.- 11.2 Unmittelbarer Polynomansatz.- 11.3 Lagrangesche Interpolationsformel.- 11.4 Newtonsche Interpolationsformel.- 11.5 Steigungen, Ableitungen und Restglied.- 11.6 Hermitesche Interpolation.- § 12 Spezielle Interpolationsformeln.- 12.1 Das Differenzenschema.- 12.2 Interpolationsformeln von Gregory-Newton.- 12.3 Interpolationsformeln von Gauss.- 12.4 Formel von Everett-Laplace.- 12.5 Formeln von Stirling und Bessel.- § 13 Numerische Integration.- 13.1 Mittelwertformeln.- 13.2 Trapez- und Simpson-Regel.- 13.3 Andere Herleitung der Simpson-Regel.- 13.4 Die 3/8-Regel. Kombination mit der Simpson-Regel.- 13.5 Allgemeine Mittelwertformeln. Restglied. Fehlerschätzung.- 13.6 Quadraturformeln von Gauss.- 13.7 Differenzenformeln.- 13.8 Verwendung von Ableitungen.- 13.9 Beispiele.- 13.10 Mehrfache Integration.- § 14 Graphische Integration.- 14.1 Einfache Integration.- 14.2 Maßstabsfragen.- 14.3 Ein Beispiel.- IV. Kapitel Statistik und Ausgleichsrechnung.- § 15 Verteilung der Grundgesamtheit.- 15.1 Zufallsexperiment und Zufallsereignis.- 15.2 Wahrscheinlichkeit.- 15.3 Stochastische Unabhängigkeit.- 15.4 Stochastische Veränderliche. Verteilung.- 15.5 Die Verteilungsfunktion.- 15.6 Mittelwert und Streuung.- 15.7 Mittelwert und Streuung mehrerer Variabler.- § 16 Die Stichprobe.- 16.1 Stichprobenmittel und Stichprobenstreuung.- 16.2 Praktische Berechnung von $$\bar x$$ und s2.- 16.3 Prüfen auf Normalverteilung: Wahrscheinlichkeitspapier.- § 17 Die Stichprobenverteilungen.- 17.1 Verteilung des Stichprobenmittels: Vertrauensgrenzen für ?.- 17.2 Die t-Verteilung: Vertrauensgrenzen für ?.- 17.3 Verteilung von s2: Die ?2-Verteilung.- § 18 Statistische Prüfverfahren.- 18.1 Vorgehensweise. Fehler erster und zweiter Art.- 18.2 Prüfgrößen.- 18.3 Prüfen auf Mittelwert.- 18.4 Vergleich zweier Mittelwerte.- 18.5 Prüfen auf Streuung. Kontrollkarten.- 18.6 Der ?2-Test.- 18.7 Zweiseitiges Risiko.- § 19 Ausgleichsrechnung: Direkte Beobachtungen.- 19.1 Ausgleich direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit.- 19.2 Direkte Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.- 19.3 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz.- § 20 Ausgleich vermittelnder Beobachtungen.- 20.1 Die Fehlergleichungen.- 20.2 Die Normalgleichungen.- 20.3 Mittelwert und Streuung der Unbekannten.- 20.4 Mittlere Fehler und Vertrauensgrenzen.- 20.5 Beobachtungen ungleicher Genauigkeit.- § 21 Ausgleichsparabeln.- 21.1 Aufgabenstellung. Normalgleichungen.- 21.2 Ein Beispiel.- 21.3 Gleichabständige Funktionswerte.- 21.4 Numerisches Differenzieren.- 21.5 Glätten von Beobachtungswerten.- V. Kapitel Approximation.- § 22 Mittlere Approximation.- 22.1 Allgemeine Approximationsaufgabe. Überblick.- 22.2 Allgemeine Form der Normalgleichungen.- 22.3 Approximation durch Polynome.- 22.4 Orthogonalsysteme.- 22.5 Orthogonalisierungsverfahren.- 22.6 Legendresche Kugelfunktionen.- § 23 Harmonische Analyse.- 23.1 Aufgabenstellung. Die Fourier-Koeffizienten.- 23.2 Numerische Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Schemaverfahren).- 23.3 Verfahren von Runge und Zipperer.- § 24 Gleichmäßige Polynomapproximation.- 24.1 Die Aufgabe.- 24.2 Transformation auf periodische Funktion.- 24.3 T-Polynome.- 24.4 Angenähert gleichmäßige Approximation.- 24.5 Vorgehen bei symmetrischer Funktion f(x).- 24.6 Beispiele.- VI. Kapitel Differentialgleichungen. Anfangswertaufgaben.- § 25 Grundgedanken. Zeichnerische Verfahren.- 25.1 Allgemeine Bemerkungen.- 25.2 Differentialgleichung erster Ordnung. Richtungsfeld, Isoklinen.- 25.3 Euler-Cauchyscher Streckenzug.- 25.4 Genauigkeitsverhältnisse.- 25.5 Trapezregel. Iteration.- 25.6 Differentialgleichung zweiter Ordnung.- § 26 Differenzenverfahren.- 26.1 Die Simpson-Regel.- 26.2 Numerische Stabilität.- 26.3 Numerisch stabile Integrationsformeln.- 26.4 Die Anlaufrechnung.- 26.5 Integrationsformeln mit Ableitungen. Systeme.- 26.6 Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung.- § 27 Das Runge-Kutta-Verfahren.- 27.1 Verfahren für Differentialgleichungen erster Ordnung.- 27.2 Genauigkeitsordnung, Schrittweite.- 27.3 Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Nyström-Verfahren.- 27.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 27.5 Schrittbemessung.- VII. Kapitel Differentialgleichungen: Band- und Eigenwertaufgaben.- § 28 Einführung.- 28.1 Aufgabenstellung: Einfache Beispiele.- 28.2 Lineare Randwertaufgaben.- 28.3 Das Eigenwertproblem.- 28.4 Beispiele für lineare Randwertaufgaben.- 28.5 Beispiele linearer Eigenwertaufgaben.- § 29 Behandlung als Anfangswertaufgabe.- 29.1 Lineare Randwertaufgaben.- 29.2 Lineare Eigenwertaufgaben.- 29.3 Übertragungsmatrizen.- 29.4 Berechnung der Y durch Reihenentwicklung.- 29.5 Berechnung von Y nach Runge-Kutta.- 29.6 Zwischenbedingungen.- § 30 Differenzenverfahren.- 30.1 Prinzip. Herleitung verbesserter Differenzenformeln.- 30.2 Ein Beispiel.- 30.3 Randformeln.- 30.4 Numerische Durchführung.- 30.5 Längs- und Biegeschwingungen.- 30.6 Allgemeine Mehrstellenausdrücke nach Falk.- § 31 Verfahren von Rayleigh-Ritz.- 31.1 Das Rayleighsche Prinzip.- 31.2 Rayleigh-Quotient als Näherung für ?1.- 31.3 Eigenwert in den Randbedingungen.- 31.4 Das Ritzsche Verfahren.- 31.5 Beispiele zum Ritz-Verfahren.- § 32 Schematisierung des Ritz-Verfahrens.- 32.1 Grundgedanken, Bezeichnungen.- 32.2 Die Feldverformung.- 32.3 Feldausdrücke und Feldmatrizen.- 32.4 Aufbau der Systemmatrizen.- 32.5 Beispiel.- 32.6 Automatischer Matrizenaufbau.- 32.7 Veränderliche Koeffizienten.- 32.8 Numerische Durchführung. Höhere Eigenwerte.- § 33 Ergänzungen zum Rayleigh-Ritz-Verfahren.- 33.1 Rayleigh-Quotient aus der Differentialgleichung.- 33.2 Das Ritzsche Verfahren mit R*[u].- 33.3 Die Galerkinschen Gleichungen.- 33.4 Verfahren von Grammel.- 33.5 Herleitung der Differentialgleichung aus der Extremalforderung.- 33.6 Orthogonalität, Entwicklung, Minimaleigenschaften.- 33.7 Eigenschaften der Ritz-Näherungen.- § 34 Verfahren der schrittweisen Näherung (Iteration).- 34.1 Allgemeiner Gang des Verfahrens.- 34.2 Numerische Integration.- 34.3 Beispiele.- 34.4 Konvergenz des Verfahrens.- 34.5 Die Schwarzschen Konstanten und Quotienten.- 34.6 Berechnung der höheren Eigenwerte.- Namen- und Sachverzeichnis.