Nous etudions dans ce travail un probleme de Goursat pour des systemes d'equations aux derivees partielles avec les conditions de Levi. Nous ameliorons les resultats du Pr D. Gourdin qui a etudie le probleme de Cauchy lineaire dans les espaces de Sobolev et dans les espaces C-infini sur R_t x R DEGREESn_x pour les operateurs matriciels faiblement hyperboliques a caracteristiques doubles en calculant le domaine de dependance dans la premiere partie tout en rappelant le detail des demonstrations utilisees en les ameliorant sur les diagonaliseurs. Dans seconde partie, nous etudions le probleme de Goursat dans les espaces de Sobolev pour un systeme de N equations a N fonctions inconnues des variables (t, x, y) dans R_txR_xxR_y DEGREESn. Ce systeme peut etre decrit comme une composition de deux operateurs aux derivees partielles a coefficients matriciels hyperboliques respectivement dans la direction de t pour le premier et dans la direction de x pour le second avec des caracteristiques doubles et des conditions de Levi scalaires et avec un operateur matriciel aux derivees partielles additif residuel specifique. Nous calculons aussi son domaine de dependance."