Mehrdimensionale ENO-Verfahren: Zur Konstruktion nichtoszillatorischer Methoden für hyberbolische Erhaltungsgleichungen: Advances in Numerical Mathematics

1 Hyperbolische Erhaltungsgleichungen.- 1.1 Schwache Lösungen.- 1.2 Spezielle Systeme.- 1.3 Die Bewegungsgleichungen kompressibler Fluide.- 2 Finite-Volumen-Verfahren.- 2.1 Triangulierungen.- 2.2 Evolutionsgleichungen und der Zellmittelungsoperator.- 2.3 Finite-Volumen-Ansätze.- 2.4 Bemerkungen zum Diskretisierungsfehler.- 2.5 Bemerkungen zu Zeitschrittverfahren.- 3 Polynomiale Rekonstruktionen.- 3.1 Das Rekonstruktionspolynom.- 3.2 TVD- und ENO-Verfahren.- 3.3 Rekonstruktion mit linearen und quadratischen Polynomen.- 3.4 Finite-Volumen-Verfahren für kompressible Strömungen.- 3.5 Der DLR-?-Code.- 3.6 Polynomiale ENO-Rekonstruktionen für Boxmethoden.- 4 Optimale Rekonstruktion.- 4.1 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Michelli und Rivlin.- 4.2 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Golomb und Weinberger.- 4.3 Die Interpretation der polynomialen Rekonstruktion.- 4.4 Splines.- 5 Globale radiale Funktionen.- 5.1 Optimale Rekonstruktion in Beppo-Levi-Räumen.- 6 Bedingt positiv A-definite Funktionen.- 6.1 Radiale Rekonstruktionen.- 6.2 Der Zugang nach Madych und Nelson.- 6.3 Die Charakterisierung der Räume C?.- 6.4 Die Optimalität radialer Rekonstruktionen.- 6.5 Numerische Ergebnisse mit dem Gaußschen Spline.- 6.6 Wu-Schaback-Optimalität.- 6.7 Die Äquivalenz der Optimalitätsbegriffe.- 7 Lokale radiale Funktionen.- 7.1 Der Euklidische Hut.- 7.2 Wu-Funktionen.- Literatur.- Symbolverzeichnis.

In der vorliegenden Arbeit werden mehrdimensionale Rekonstruktionsalgorithmen für ENO-Verfahren erstmals aus Sicht der Theorie der Optimalen Rekonstruktion analysiert. Diese Scihtweise führt von Polynomen weg hin zu mehrdimensionalen Splines, die als radiale Baisisfunktionen auftreten und zu neuen und vielversprechenden Algorithmen führen. Im einzelnen werden die Punkte Finite-Volumen-Verfahren / Klassische Rekonstruktionstechniken / Theorie der Optimalen Rekonstruktion / Theorie der Splines und Radiale Rekonstruktionen behandelt. Alle Algorithmen werden an numerischen Beispielen getestet und verglichen. "Die ENO-Verfahren sind eine neuerdings intensiv untersuchte Klasse von Methoden zur Lösung nichtlinearer hyperbolischer Anfangswertprobleme. Vielfach werden sie auf cartesischen Gittern diskutiert. Bekanntlich sind aber Triangulierungen etc. vor allem aus Gründen der Geometrie vielfach vorzuziehen. Diese Arbeit untersucht nun in der Tat unregelmäßige Gitter und entwickelt hier vor allem eine Originaltheorie optimaler Rekonstruktionen. Dieser bisher auf dem Gebiet nicht eingeschlagene Weg darf zweifellos erhebliches Interesse beanspruchen." H.Muthsam. Monatshefte für Mathematik "... The author has brought together several branches of applied and numerical mathematics and thus has produced new insights and new, improved methods." A.O. Oganesyan. Mathematical Reviews