Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten Lösung großer vollbesetzter Gleichungssysteme: Advances in Numerical Mathematics

1 Einleitung.- 2 Grundlegende Definitionen.- 3 Pseudodifferentialoperatoren auf glatten Mannigfaltigkeiten.- 4 Einige praktische Beispiele.- 5 Multiskalenbasen.- 6 Approximationsverhalten und Normcharakterisierung.- 7 Multiskalendarstellung des Galerkin- und Kollokationsverfahrens.- 8 Galerkin-Verfahren.- 9 Kollokationsmethode.- 10 Zusammenfassung.- 11 Direkte Quadratur.- 12 Numerische Experimente.

Wir betrachten eine Methode zur effizienten numerischen Lösung einiger linearer Operatorgleichungen, dies können sowohl Integral- als auch Differentialoperatoren sein. Zu diesem Zweck schlagen wir eine Wavelet- oder Multiskalendarstellung vor. Wir zeigen, daß unter gewissen Voraussetzungen an die Basen und die Operatoren die auftretenden Matrizen gleichmäßig konditioniert und numerisch dünn besetzt sind. Wir zeigen, daß man diese Matrizen durch dünn besetzte ersetzen kann, um damit das entstehende Gleichungssystem mit optimalem Aufwand oder zumindest fastoptimalem Aufwand zu lösen, ohne die bestmögliche Konvergenzrate des zugrundeliegenden Verfahrens, in der Regel Galerkin- oder Kollokationsverfahren, zu verletzen. "... It (the book) can be recommended to everyone who is interested in wavelet approximation methods and/or the numerical analysis of boundary value problems and integral equations." J.Elschner. Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete