Die Behandlung der Bruchmechanik inhomogener Werkstoffe mit der konventionellen Finite- Elemente-Methode ist problematisch, da die Feldlösungen eine Vielzahl von Unstetigkeiten aufweisen. Insbesondere die Simulation von Risswachstum ist sehr aufwändig, da dieses eine laufende, fehleranfällige Neuorganisation des Finite-Elemente-Netzes erfordert. Bei der Entwicklung neuartiger Verbundwerkstoffe jedoch ist der Nachweis der Ermüdungsfestigkeit mit bruchmechanischen Methoden vielfach von hoher Bedeutung. Mit der vorliegenden Arbeit wurden alternative, sowohl analytische als auch numerische Wege für die Berechnung an Scheiben aufgezeigt und besonderes Augenmerk auf die numerische Effizienz gelegt. Als numerisches Verfahren wurde die erweiterte Finite-Elemente-Methode XFEM gewählt, weil diese in der Lage ist, Unstetigkeiten der Feldlösung ohne Modifikation des Netzes durch Einführung speziell angereicherter finiter Elemente abzubilden.Im Rahmen der Erläuterung der wichtigsten mechanischen und numerischen Grundlagen wurden zunächst auch adäquate Erweiterungen des J-Integrals für kontinuierlich und diskret inhomogene Materialien hergeleitet.Im Weiteren wurde die Analogie zwischen Versetzungsstauungen und Rissen als Grundlage einer analytischen Lösung für die Interaktion von Inhomogenitäten und Rissen aufgezeigt. Für die konkrete Berechnung dieser Lösung wurde die Nyström-Methode auf die entsprechende Fredholm'sche Gleichung (singuläre Integralgleichung) angewendet. Hierfür wurde ein FORTRAN-Code von Helsing ([HEL99]) erweitert und ein Konzept zur Risswachstumssimulation implementiert. Die auf diese Weise analytisch ermittelten Risspfade erwiesen sich als sehr plausibel und konnten im weiteren Verlauf als Referenz für XFEM-Berechnungen dienen.Sowohl für kontinuierlich als auch für diskret inhomogene Materialien wurden die entsprechenden Erweiterungen des J-Integrals in ein XFEM-Programm implementiert. Die Wegunabhängigkeit des J-Integrals konnte für beide Anwendungsfälle nachgewiesen werden und umfassende Untersuchungen zur erforderlichen Diskretisierung wurden angestellt. Gute Übereinstimmung der Risspfadberechnungen mit den oben angeführten analytisch ermittelten Lösungen konnte nachgewiesen werden.Zur Steigerung der numerischen Effizienz wurde daraufhin eine Möglichkeit der rechnerischen Homogenisierung elastischer Materialeigenschaften als XFEM-Programm hergeleitet und umgesetzt. Der effektive Elastizitätsmodul von Scheiben mit kreisförmigen Scheiben kann mittels der hierfür implementierten Energieäquivalenzmethode berechnet werden. Dabei können die Lage und die Größe der Inhomogenitäten vollkommen unabhängig vom gewählten Finite-Elemente-Netz variiert werden. Dies ist besonders hilfreich in der Phase der Materialformulierung: Das Materiallayout kann so ohne erforderliche Nutzereingriffe für die Netzanpassung automatisiert optimiert werden. Auch für die Homogenisierungsberechnungen wurden Studien zur erforderlichen Diskretisierungstiefe durchgeführt.Da Ermüdungsberechnungen den wesentlichen praxisrelevanten Anwendungsfall bruchmechanischer Untersuchungen von inhomogenen Werkstoffen darstellen, wurden weiterhin entsprechende Module in das XFEM-Programm eingearbeitet. Sowohl das Paris- Gesetz als auch das Forman-Mettu-Gesetz als anerkannte Risswachstumsgesetzte in der Ermüdungstheorie wurden implementiert. Vergleichsrechnungen für das Ermüdungsrisswachstum an Scheiben mit Löchern zeigten gute Übereinstimmungen mit Versuchsergebnissen.Abschließend führten das Bestreben nach numerischer Effizienz und der Wunsch möglichst genauer Ermüdungsberechnungen unter Berücksichtigung lokaler Inhomogenitäten in Scheiben zur Einführung einer "semiexpliziten" XFEM-Modellierung. Darunter wurde im Rahmen dieser Arbeit die Einführung eines kreisförmigen Bereichs um die Rissspitze herum verstanden, innerhalb derer die vorhandenen Inhomogenitäten explizit modelliert werden. Außerhalb dieses durch eine Level-Set-Technologie nach Osher und Sethian abgegrenzten Areals werden die zuvor mittels der Energieäquivalenzmethode homogenisierten Materialeigenschaften verwendet. Der explizit eingeblendete Bereich wird automatisch und netzunabhängig mit der Rissspitze mitbewegt. Die Berechnungsergebnisse erwiesen sich sowohl in Bezug auf den Risspfad als auch in Hinsicht auf die ermittelte Lebensdauer der untersuchten Scheiben als ausgesprochen zufriedenstellend und in guter Übereinstimmung mit der vollständig expliziten Modellierung. Durch die so erzielbare erhebliche Einsparung von Freiheitsgraden (bis zu 40%) bei vergleichbarer Ergebnisqualität lassen sich wesentliche Rechenzeiteinsparungen realisieren.