Vorlesungen über höhere Mathematik: Integration und Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen. Lineare Algebra. Tensorfelder. Differentialgeometrie

I. Grundbegriffe.- Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- § 1. Ergänzungen aus der Lehre von den Punktmengen.- 1. Ebene Punktmengen.- 2. Der n-dimensionale Raum.- 3. Gebiet und Bereich.- 4. Die Fernpunkte des Gn.- 5. Der Inhalt einer Punktmenge.- § 2. Funktionen mehrerer Variabler. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Der allgemeine Funktionsbegriff.- 2. Beispiele.- 3. Zwei- und dreireihige Determinanten.- 4. Der Grenzwert einer Funktion.- 5. Stetige Funktionen.- 6. Die Randwerte einer Funktion.- 7. Zusammengesetzte Funktionen.- § 3. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Die partiellen Ableitungen.- 2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 3. Der Satz von Schwarz.- 4. Das erste totale Differential einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 5. Totale Differentiale im allgemeinen.- 6. Die Differentiation zusammengesetzter Funktionen und die Kettenregel.- 7. Implizite Funktionen.- 8. Zwei Gleichungen zwischen vier Veränderlichen.- § 4. Homogene Funktionen.- 1. Definition und Beispiele.- 2. Die Eulereche Differentialgleichung der tetig differenzierbaren homogenen Funktionen.- 3. Binäre quadratische Formen.- 4. Die Hauptachsentransformation der Kegelschnitte.- § 5. Die Taylorsche Formel.- 1. Herleitung der Taylorschen Formel.- 2. Der Mittelwertsatz.- 3. Das Taylorpolynom T1 und die Tangentenebene einer Fläche.- 4. Verallgemeinerung des Newtonschen und des Iterationsverfahrens.- 5. Das Taylorpolynom Tr Die verschiedenen Arten der Punkte eineT2. Die verschiedenen Arten der Punkte einer Fläche.- § 6. Doppelfolgen und Doppelreihen.- 1. Doppelfolgen.- 2. Simultane und sukzessive Grenzübergänge bei stetigen Veränderlichen.- 3. Funktionenfolgen. Ein Satz von DINI.- 4. Doppelreihen.- 5. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen.- 6. Taylorsche Reihen in mehreren Veränderlichen..- § 7. Koordinatentransformation, Punkttransformation und Abbildung zweier Ebenen oder Räume.- 1. Die Abbildung zweier Ebenen und der Begriff der Koordinatentransfurmation.- 2. Die Punkttransformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst.- 3. Die geometrische Bedeutung der Funktionaldeterminante.- 4. Abhängige Funktionen.- 5. Die analytische Darstellung der Kurven und Flächen im Raum..- 6. Transformation und Abbildung im Raum.- 7. Die affine Abbildung.- 8. Die projektive Abbildung.- 9. Elliptische oder Lamésche Koordinaten.- 10. Transformationsgruppen.- 11. Zur projektiven Geometrie.- §8. Ebene Kurven.- 1. Tangente, Normale und Berührungsgrößen.- 2. Asymptoten.- 3. Singuläre Punkte.- 4. Berührung von Kurven. Wendepunkte, Krümmungskreis und Scheitel.- 5. Die Krümmung einer Kurve.- 6. Hülkurven.- 7. Evolute und Evolvente.- 8. Spezielle Kurven.- 9. Bemerkungen zur Kurvendiskussion.- § 9. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler.- 1. Notwendige Bedingungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 2. Hinreichende Bedingungen.- 3. Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen.- 4. Extrema unter einer Nebenbedingung.- 5. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Approximation empirischer Funktionen.- § 10. Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Punkte, Strecken und Vektoren.- 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.- 3. Länge eines Vektors.- 4. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.- 5. Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren.- 6. Normierte Dreibeine und Maßvektoren.- 7. Das äußere oder vektorielle Produkt von zwei Vektoren.- 8. Geometrische Anwendungen.- 9. Der Schnitt von p Ebenen.- 10. Vektoren als Funktionen eines Parameters. Tangentenvektor einer Raumkurve.- 11. Tangentenebene und Normalenvektor einer Fläche.- 12. Die Richtungsablcitung einer Funktion.- 13. Vektoren in einer Ebene.- II. Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- § 11. Integrale als Funktionen eines Parameters.- 1. Durch bestimmte Integrale dargestellte Funktionen.- 2. Differentiation unter dem Integralzeichen.- 3. Integration unter dem Integralzeichen.- 4. Durch uneigentlichc IntcgTalc dargestellte Funktionen.- 5. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter uneigentlicher Integrale.- 6. Beispiele.- 7. Integrale unstetiger Funktionen.- § 12. Kunrenintegrale und lineare Differentialformen.- 1. Der Begriff des Kurvenintegrals.- 2. Die Integration totaler Differentiale.- 3. Die Integrabilititsbcdingung der binären linearen Difiercntialformen.- 4. Exakte Differentialgleichungen.- 5. Kurvenintegrale im Gn.- 6. Theorie des Polarplanimeters.- §13. Bereichsintegrale.- 1. Der Begriff des Bereichsintegrals für ebene Bereiche.- 2. Die Zerlegung des Bereiches B in Teilbereiche.- 3. Beweis der Ungleichung J* ? J*.- 4. Ausgezeichnete Zerlegungsfolgen. Weitere Sätze über integrierbare Funktionen.- 5. Beispiele.- 6. Sätze über Bereichsintegrale.- 7. Zurückführung eines Bereichs-Integrals auf zwei einfache Integrale.- 8. Transformation der Doppclintegrale.- 9. Integrale über drei- und mehrdimensionale Bereiche.- 10. Uneigentliche Integrale.- 11. Die lntegralsätze von Gauss und Green für die Ebene.- 12. Die Bereichsdifferentiation.- 13. Die Approximation von Funktionen.- § 14. Mehrfache Integrale in Geometrie und Mechanik.- 1. Die Bogenlänge einer Raumkurve.- 2. Der Inhalt krummer Flächen.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt.- 4. Trägheitsmoment und Trägheitsradius.- III. Lineare Algebra.- § 15. Determinanten und Matrizen.- 1. Begriff der Matrix und Determinante.- 2. Die wichtigsten Eigenschaften der Determinanten.- 3. Der allgemeine Entwicklungssatz von La Place.- 4. Der Multiplikationssatz für Determinanten.- 5. Entwicklung nach den Elementen einer Reihe.- 6. Numerische Berechnung einer Determinante.- 7. Der Rang einer Matr.- 8. Lineare Abhängigkeit.- § 16. Lineare Gleichungen.- 1. Inhomogene lineare Gleichungen.- 2. Homogene lineare Gleichungen.- 3. Das Gaußsche Ellminattonsverfahren zur Auflösung linearer Gleichungen.- § 17. Lineare Transformationen, Vektoren und Tensoren.- 1. Punkt- und Koordinaten transformation.- 2. Die affine Geometrie im Gn.- 3. Die euklidische Geometrie im Gn.- 4. Vektoren im euklidischen Gn.- 5. Vektorräume im Gn.- 6. Noch einmal die Existenzsitze für lineare Gleichungen.- 7. Ortsvektoren. Maßvektoren und Koordinatentransformation.- 8. Tensoren im Gn.- 9. Die Tensoroperationen.- 10. Das äußere Produkt von Vektoren des Gn.- § 18. Tensoren zweiter Stufe.- 1. Rang eines Tensors. Der Inverse Tensor.- 2. Der Vektor eines Tensors im Gn.- 3. Eigenrichtungen und Eigenwerte eines Tensors.- 4. Symmetrische Tensoren.- 5. Quadriken im Gn.- IV. Tensoranalysis und Differentialgeometrie.- § 19. Der Begriff des Tensorfeldes und die Differentiation der FeldgröBen.- 1. Tensorfelder.- 2. Die Differentiation der Feldgrößen.- 3. Kombinierte Operationen.- 4. Die geumetrische Darstellung der Skalar- und Vektorfelder.- § 20. Die Integration der Feldgrößen.- 1. Kurvenintegrale und Potential.- 2. Flächenintegrale.- 3. Der Gaußsche Integralsatz.- 4. Die Integralätze von GREEN.- 5. Der Integralsatz von Stokes.- 6. Das Vektorpotential.- § 21. Raumkurven.- 1. Bogenlänge und Tangentenvektor.- 2. Das begleitende Dreibein und die Frenetschen Formeln.- 3. Ergänzungen und Folgerungen.- 4. Krümmung und Windung.- 5. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve.- 6. Kaumkurven und Torsen.- § 22. Grundzüge der Flächentheorie.- 1. Die erste Grundform der Flächentheorie.- 2. Tangentenebene und Normalenvektor.- 3. Die Geometrie auf der Fläche.- 4. Die zweite Grundform der Flächentheorie.- 5. Normatecbnitte, Der Satz von Meusnier.- 6. Die Asymptotenlinien einer Fläche.- 7. Hauptkrümmungen, Gaußsche und mittlere Krümmung einer Fläche.- 8. Die Eulersche Gleichung und die Indikatrix.- 9. Die Weingartenschen Gleichungen und eine weitere Eigenschaft der Krümmungslimen.- 10. Formeln für die Flachendarstellung.- 11. Geodätische Linien auf einer Fläche.- 12. Das Problem des integrierenden Faktors und die Existenz von Orthogonalflächen einer zweiparametrigen Kurvenschar.- 13. Orthogonale Flächennetze.- 14. Singuläre Punkte von Flächen.- 15. Hüllflächen.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis.