Vorlesungen über höhere Mathematik: Erster Band Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen

I. Zahlen und Zahlenfolgen.- § 1. Der Zahlbegriff.- 1. Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion.- 2. Die ganzen und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme.- 3. Die irrationalen und die reellen Zahlen.- 4. Die komplexen Zahlen.- 5. Vorzeichen und absoluter Betrag.- 6. Die Fakultät.- 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.- § 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 1. Der Mengenbegriff.- 2. Die Zahlengerade.- 3. Einige wichtige Begriffe und Sätze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.- 4. Abzählbare Mengen.- *5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen.- *6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen.- *7. Untere und obere Grenze einer Menge.- *8. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass.- § 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 1. Begriff der Folge. Beispiele.- 2. Konvergente und divergente Folgen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge.- 3. Sätze über konvergente Folgen. Monotone Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 6. Die Intervallschachtelung.- 7. Der Boreische Überdeckungssatz.- § 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Potenz.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of a ,a >0 $$.- 5. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of v $$.- 6. Die Folge $$ {u_v} = 1 + \frac{1} {{1!}} + \frac{1} {{2!}} + ... + \frac{1} {{v!}} $$.- 7. Die Folge $$ {v_v} = {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^v} $$.- 8. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- § 5. Kombinatorik.- 1. Permutationen.- 2. Kombinationen ohne Wiederholung.- 3. Kombinationen mit Wiederholung.- 4. Variationen ohne Wiederholung.- 5. Variationen mit Wiederholung.- II. Der Funktionsbegriff.- § 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 1. Cartesische Koordinaten in der Ebene.- 2. Cartesische Koordinaten im Raum.- 3. Der Begriff der Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Gleichung und Identität.- 6. Einige Hinweise.- 7. Beschränkte Funktionen.- 8. Monotone Funktionen.- 9. Gerade und ungerade Funktionen.- 10. Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion.- 11. Implizite Funktionen.- 12. Einteilung der Funktionen einer Veränderlichen.- § 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.- 2. Endgültige Definition des Grenzwertes einer Funktion.- 3. Zusammenhang mit dem Grenzwert von Zahlenfolgen.- 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert.- 5. Uneigentliche Grenzwerte.- 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.- 7. Zusammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 8. Die Potenz mit rationalem Exponenten.- 9. Die Größenordnung von Funktionen.- 10. Das Rechnen mit Grenzwerten.- § 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- 1. Der Begriff der Stetigkeit.- 2. Einige Definitionen.- 3. Die Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.- 4. Beschränktheit der stetigen Funktionen.- 5. Der Satz von Weierstrass über das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.- 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von Bolzano).- 7. Die Eindeutigkeit der inversen Funktion.- 8. Gleichmäßige Stetigkeit.- 9. Funktionenfolgen.- 10. Gleichmäßige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.- 11. Die Regula falsi.- III. Integral und Ableitung..- § 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.- 1. Allgemeines zum Begriff des Flächeninhalts.- 2. Normalbereiche.- 3. Das bestimmte Integral einer Funktion.- 4. Beweis der Ungleichung J* ? J* Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen.- *6. Beweis der Beziehungen (8) bis (10).- § 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.- 1. Sätze über bestimmte Integrale.- 2. Die Integrierbarkeit der monotonen Funktionen.- 3. Die Integrierbarkeit stückweise stetiger beschränkter Funktionen.- 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5. Integration der Potenz mit rationalem Exponenten.- § 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 1. Das Tangentenproblem.- 2. Differenzenquotient und Ableitung.- 3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- 4. Die Bedeutung der Differentiale.- 5. Die Geschwindigkeit eines bewegten Punktes.- 6. Das Newtonsche Verfahren.- § 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.- 1. Differentiation einer Summe.- 2. Differentiation eines Produktes.- 3. Differentiation eines Quotienten.- 4. Differentiation zusammengesetzter Funktionen (Kettenregel).- 5. Differentiation der inversen Funktion.- 6. Differentiation der Potenz x? für rationale ?.- 7. Begriff des Extremums. Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.- 8. Bestimmung des größten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.- 9. Randextrema.- 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 11. Der Satz von Rolle und der Beweis des Mittelwertsatzes.- 12. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 13. Lösung einer Gleichung f(x) = 0 durch Iteration.- § 13. Das unbestimmte Integral.- 1. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.- 2. Die Ableitung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.- 3. Das unbestimmte Integral und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 4. Eine Deutung der Integrationskonstanten.- 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem Integral.- 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurvenscharen.- 7. Begriff der Differentialgleichung.- 8. Differentiation und Integration als inverse Rechenoperationen.- 9. Physikalische Anwendungen.- 10. Graphische Integration.- 11. Graphische Differentiation.- § 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 1. Einfachste Integrationsregeln.- 2. Bemerkung über die Systematik der Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen.- 3. Partielle Integration.- 4. Rekursionsformeln.- 5. Transformation eines Integrals.- 6. Integrale gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich.- 7. Zusammenhang der Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit jenen der Integralrechnung.- 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 9. Integration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.- § 15. Höhere Ableitungen.- 1. Begriff der höheren Ableitungen einer Funktion.- 2. Höhere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion.- 3. Höhere Ableitungen der inversen Funktion.- 4. Höhere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel).- 5. Ein zweiter Beweis des binomischen Satzes.- IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..- §16. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 1. Das Integral $$ \int\limits_1^x {\frac{{du}} {u}} $$.- 2. Der natürliche Logarithmus.- 3. Die natürliche.- 1 Exponentialfunktion.- 4. Die allgemeine Exponentialfunktion.- 5. Die allgemeine Potenz.- 6. Der allgemeine Logarithmus.- 7. Grenzwerte, die mit Logarithmus und Exponentialfunktion zusammenhängen.- 8. Logarithmische Differentiation.- 9. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion.- 10. Stetige Verzinsung.- 11. Zerfall der radioaktiven Substanzen.- 12. Stromverlauf beim Ein-und Ausschalten eines elektrischen Stromkreises.- 13. Funktionsskala und Rechenschieber.- § 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.- 1. Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels.- 2. Definition der Kreisfunktionen.- 3. Die Additionstheoreme.- 4. Die harmonische Schwingung.- 5. Differentiation und Integration der Kreisfunktionen.- 6. Definition der zyklometrischen Funktionen.- 7. Differentiation der zyklometrischen Funktionen.- 8. Polarkoordinaten in der Ebene.- 9. Polarkoordinaten im Raum.- 10. Zylinderkoordinaten.- 11. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.- §18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.- 1. Definition der Hyperbelfunktionen.- 2. Geometrische Deutung.- 3. Additionstheoreme und verwandte Formeln.- 4. Differentiation und Integration der Hyperbelfunktionen.- 5. Die Umkehrfunktionen.- 6. Die Integrale $$ {J_1} = \int {\frac{{dx}} {{a{x^2} + bx + c}}} $$ und $$ {J_2} = \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {a{x^2} + bx} + c}}} $$.- V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.- §19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.- 1. Die Parameterdarstellung einer Kurve.- 2. Differentiation einer Funktion in Parameterdarstellung. Glatte und stückweise glatte Kurven.- 3. Vektoren in der Ebene.- 4. Beispiele.- 5. Der Beschleunigungsvektor.- 6. Rationale Kurven.- § 20. Unbestimmte Formen.- 1. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zähler und Nenner verschwinden (Bernoullische Regel).- 2. Unbestimmte Formen.- 3. Der Fall $$ \frac{\infty } {\infty } $$.- 4. Der Fall 0. ?.- 5. Die Fälle I?, 0° und ?°.- 6. Der Fall ? — ?.- 7. Die Ordnung der Nullstellen und ?-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.- § 21. Uneigentliche Integrale.- 1. Integrale mit nicht beschränktem Integranden.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz.- 3. Uneigentliche Integrale mit nicht beschränktem Integrationsbereich.- 4. Beispiele.- § 22. Die Taylorsche Formel.- 1. Die Taylorsche Formel für ein Polynom.- 2. Die Taylorsche Formel für eine beliebige Funktion.- 3. Darstellung des Restgliedes durch ein Integral.- 4. Abschätzung des Restgliedes.- 5. Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.- 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Extremum einer Funktion von einer Veränderlichen.- 7. Bemerkungen über die Taylorschen Polynome und die Berührung von Kurven.- § 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.- 1. Die Formeln von Wallis.- 2. Die Formel von Stirling.- 3. Beweis der Stirlingschen Formel.- 4. Das Integral $$ \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx $$.- § 24. Der Flächeninhalt ebener Bereiche.- 1. Zurückführung auf Normalbereiche.- 2. Der Flächeninhalt als Kurvenintegral.- 3. Beispiele.- 4. Weitere Formeln für den Flächeninhalt.- 5. Die Invarianz des Flächeninhalts.- 6. Flächeninhalt in Polarkoordinaten.- § 25. Die Bogenlänge einer Kurve.- 1. Begriff der Bogenlänge.- 2. Darstellung der Bogenlänge durch ein bestimmtes Integral.- 3. Das Bogenelement.- 4. Die Bogenlänge in Polarkoordinaten.- 5. Beispiele.- § 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.- 1. Das Volumen eines Drehkörpers und der Inhalt einer Drehfläche.- 2. Statisches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt eines Kurvenbogens.- 4. Das statische Moment eines Drehkörpers.- 5. Trägheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen.- 6. Beispiele.- 7. Das Stieltjes-Integral.- § 27. Numerische Integration.- 1. Die Rechtecksformeln.- 2. Die Trapezformeln.- 3. Keplers Faßregel und die Simpsonsche Formel.- 4. Fehlerabschätzung.- § 28. Die komplexen Zahlen.- 1. Die Gaußsche Zahlenebene.- 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3. Die Formeln von Moivre und Euler.- 4. Folgerungen aus der Eulerschen Formel.- 5. Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.- VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.- § 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.- 3. Nullstellen reeller Polynome.- 4. Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome. Mehrfache Nullstellen.- 5. Das Hornersche Divisionsverfahren.- 6. Das graphische Verfahren von Lill.- § 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.- 1. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation.- 2. Die Lagrangesche Interpolationsformel.- 3. Steigungen und Steigungsschema.- 4. Die Newtonsche Interpolationsformel.- 5. Fehlerabschätzung. Die Taylorsche Formel als Sonderfall der Newtonschen Interpolationsformel.- 6. Die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe.- 7. Die Newtonsche Formel für äquidistante Argumente. Das Differenzenschema.- § 31. Algebraische Gleichungen.- 1. Allgemeines.- 2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung.- 3. Die kubische Gleichung.- 4. Die biquadratische Gleichung.- 5. Reziproke Gleichungen.- § 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Cartesische Zeichenregel.- 3. Schranken für die Wurzeln.- 4. Trennung der Wurzeln und numerische Auflösung.- 5. Das Graeffesche Verfahren.- § 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.- 1. Rationale Funktionen.- 2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.- 3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 4. Abelsche Integrale.- 5. Die quadratische Irrationalität.- 6. Zwei Sonderfälle.- 7. Die bilineare Irrationalität.- 8. Binomische Integrale.- 9. Integration gewisser transzendenter Funktionen.- VII. Unendliche Reihen.- § 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.- 3. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 4. Das Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen.- 5. Absolut konvergente Reihen.- 6. Das Rechnen mit Reihen.- 7. Unbedingt und bedingt konvergente Reihen.- 8. Multiplikation von Reihen.- 9. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- § 35. Konvergenzkriterien.- 1. Reihenvergleichung.- 2. Das Quotientenkriterium.- 3. Die binomische Reihe.- 4. Das Wurzelkriterium.- 5. Die Reihe $$ \sum\limits_{v = 1}^\infty {\frac{1} {{{v^\alpha }}}} $$ mit ?> 0.- § 36. Reihen und Funktionen.- 1. Gleichmäßige Konvergenz.- 2. Stetigkeit der Summenfunktion.- 3. Integration unendlicher Reihen.- 4. Differentiation unendlicher Reihen.- § 37. Potenzreihen.- 1. Der Fundamentalsatz über Potenzreihen.- 2. Bestimmung des Konvergenzradius nach Cauchy.- 3. Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.- 4. Die Taylorsche Reihe.- 5. Die Methode des unbestimmten Ansatzes.- 6. Noch einmal die binomische Reihe.- § 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.- 1. Die geometrische Reihe.- 2. Die logarithmische Reihe.- 3. Die Reihe für arctan x.- 4. Die Expon entialreihe.- 5. Die Reihen für sin x, cos x, sh x und ch x.- § 39. Fouriersche Reihen.- 1. Periodische Funktionen und harmonische Analyse.- 2. Trigonometrische Reihen.- 3. Fouriersche Reihen.- *4. Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion mit beschränkter und stückweise stetiger Ableitung.- *5. Darstellbarkeit einer solchen Funktion durch ihre Fourierreihe.- *6. Fouriersche Reihen unstetiger Funktionen.- 7. Ergänzende Bemerkungen. Beispiele.- 8. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens und die Produktentwicklung des Sinus.- 9. Das Gibbssche Phänomen.- 10. Trigonometrische Interpolation.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis (Biographische Notizen).