Topologie und Analysis: Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel: Hochschultext

I. Operatoren mit Index.- 1. Fredholmoperatoren. Hierarchie mathematischer Objekte. Begriff des Fredholmoperators.- 2. Algebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang. Das Schlangenlemma:. Operatoren von endlichem Rang und die Fredholmsche Integralgleichung.- 3. Analytische Methoden. Kompakte Operatoren. Analytische Methoden. Der adjungierte Operator. Kompakte Operatoren. Die klassischen Integraloperatoren.- 4. Die Fredholmalternative. Das Rieszsche Lemma. Das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem.- 5. Die Hauptsätze. Die Calkinalgebra. Störungstheorie. Homotopieinvarianz des Index.- 6. Familien von invertierbaren Operatoren. Satz von Kuiper. Homotopien von operatorwertigen Funktionen. Der Satz von Kuiper.- 7. Familien von Fredholmoperatoren. Indexbündel. Die Topologie von F. Die Konstruktion des Indexbündels. Der Satz von Atiyah-Jänich. Homotopie und unitäre Äquivalenz.- 8. Fourierreihen und -integrale (Zusammenstellung der Grundbegriffe). Fourierreihen. Fourierintegral. Höherdimensionale Fourierintegrale.- 9. Wiener-Hopf-Operatoren. Das Beispielreservoir für Fredholmoperatoren. Herkunft und prinzipielle Bedeutung der Wiener-Hopf-Operatoren. Die Kennlinie eines Wiener-Hopf-Operators. Wiener-Hopf-Operatoren und harmonische Analyse. Die diskrete Indexformel. Der Systemfall. Kontinuierliches Analogon.- II. Analysis auf Mannigfaltigkeiten.- 1. Partielle Differentialgleichungen. Lineare partielle Differentialgleichungen. Elliptische Differentialgleichungen. Wo kommen elliptische Differentialgleichungen vor. Randwertbedingungen. Hauptfragen der Analysis und das Indexproblem. Numerische Aspekte. Elementare Beispiele.- 2. Differential Operatoren über Mannigfaltigkeiten. Motivation. Ltifferenzierbare Mannigfaltigkeiten — Grundbegriffe. Geometrie derC?-Abbildungen. Integration auf Mannigfaltigkeiten. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Berandete Mannigfaltigkeiten.- 3. Pseudodifferentialoperatoren. Motivation. Kanonische Pseudodifferentialoperatoren. Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Näherungsrechnung für Pseudodifferentialoperatoren.- 4. Sobolewräume (Steilkurs). Motivation. Definition. Die Hauptsätze über Sobolewräume. Fallstudien.- 5. Elliptische Operatoren über geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Stetigkeit von Pseudodifferentialoperatoren. Elliptische Operatoren.- 6. Elliptische Randwertsysteme I (Differentialoperatoren). Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Variable Koeffizienten.- 7. Elliptische Differential Operatoren 1. Ordnung mit Randbedingungen. Die topologische Bedeutung von Randwertbedingungen (Fallstudie). Verallgemeinerungen (heuristisch).- 8. Elliptische Randwertsysteme II (überblick). Das Poissonprinzip. Die Greensche Algebra. Der elliptische Fall.- III. Die Atiyah-Singer-Indexformel.- 1. Einführung in die algebraische Topologie (K-Theorie). Umlaufzahlen. Die Topologie der allgemeinen linearen Gruppe. Der Ring der Vektorraumbündel. K-Theorie mit kompaktem Träger. Beweis des Periodizitätssatzes von R. Bott.- 2. Die Indexformel im euklidischen Fall. Indexformel und Bottperiodizität. Das Differenzbündel eines elliptischen Operators. Die Indexformel.- 3. Die Indexformel für geschlossene Mannigfaltigkeiten. Die Indexformel. Vergleich der Beweise: Der Kobordismus-Beweis. Vergleich der Beweise: Der Einbettungsbeweis. Vergleich der Beweise: Der Wärmeleitungsbeweis.- 4. Anwendungen (Übersicht). Kohomologische Fassung der Indexformel. Der Systemfall (triviale Bündel). Beispielefür verschwindenden Index. Eulerzahl und Signatur. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten. Abelsche Integrale und Riemannsche Flächen. Der Satz von Riemann-Roch-tiirzebruch. Der Index elliptischer Randwertprobleme. Reelle Operatoren. Die Lefschetzsche Fixpunktformel. Analysis auf symmetrischen Räumen. Weitere Anwendungen.- Anhang: Was sind Vektorraumbündel?.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Namenverzeichni.