Einführung in die Theorie der Speziellen Funktionen der Mathematischen Physik: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, cartea 118

1. Grundlagen.- 1.1. Die Schwingungsgleichung.- 1.2. Funktionentheoretische Hilfsmittel.- 1.3. Die Laplace-Transformation.- 2. Die Gammafunktion.- 2.1. Definition und einige Haupteigenschaften.- 2.2. Charakterisierung durch Funktionalgleichung und logarithmische Konvexität. Folgerungen.- 2.3. Die Darstellung von ??(z) als Laplace-Integral. Die asymptotische Reihe für log ?(z+1).- 2.4. Die Hankeische Integraldarstellung für die reziproke Gammafunktion und Verwandtes.- 3. Die Zylinderfunktionen.- 3.1. Integralrelationen.- 3.2. Die Bessel-Funktionen ganzer Indizes.- 3.3. Die Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.- 3.4. Hankel-Funktionen und Neumannsche Funktion. Asymptotische Reihen für x??.- 3.5. Rekursionsformeln.- 3.6. Wronskische Determinanten.- 3.7. Das (ebene) Additionstheorem.- 3.8. Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen.- 3.9. Jv+n(x) und Jv+n((v+n)x) als Eigenfunktionen.- 4. Die hypergeometrische Funktion. Grundlagen.- 4.1. Differentialgleichung und Reihe.- 4.2. Integraldarstellungen.- 4.3. Lineare Transformationen.- 4.4. Quadratische Transformationen.- 4.5. „Verallgemeinerte Kugelfunktionen“.- 5. Kugelfunktionen.- 5.1. Allgemeines.- 5.2. Die Legendreschen Polynome.- 5.3. Die Funktionen $$P_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,...;\,n = m,\,m + 1,\,m + 2,\,...)$$.- 5.4. Die Funktionen $$Q_n^m (x)\,(m = 0,\,1,\,2,\,...;\,n = m,\,m + 1,\,m + 2,\,...)$$.- 5.5. Die Kugelflächenfunktionen.- 5.6. Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes.- 5.7. Rekursionsformeln.- 5.8. Kugelfunktionen als Eigenfunktionen.- 5.9. Die Polynome von GEGENBAUER.- 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.1. Kummersche Differentialgleichung und Reihe. Transformationsformeln.- 6.2. Die Whittakersche Differentialgleichung.- 6.3. Integraldarstellungen.- 6.4. Einige Spezialfälle.- 6.5.Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.- 6.6. Rekursionsformeln.- 6.7. Whittakersche Differentialgleichung: Wronskische Determinanten und Orthogonalität.- 6.8. Whittakersche Funktionen als Eigenfunktionen.- 7. Die „F-Gleichung“.- 7.1. Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Gleichung“.- 7.2. Reihenentwicklungen.- 7.3. Differentialformeln.- 7.4. Integralrelationen.- 8. Biorthogonalentwicklungen analytischer Funktionen.- 8.1. Ein allgemeines Prinzip zur Gewinnung von Entwicklungssätzen und asymptotischen Aussagen.- 8.2. Reihen nach Bessel-Funktionen.- 8.3. Reihen nach Whittakerschen Funktionen.- 8.4. Entwicklungen nach Kugelfunktionen.- 8.5. Entwicklungen nach hypergeometrischen Funktionen.- 8.6. Asymptotische Formeln.- 8.7. Bemerkung zu den Entwicklungssätzen.- Literaturhinweise.